Набор для выживания: тригонометрические тождества

Существуют десятки тригонометрических тождеств, но на практике запомнить нужно лишь около десятка — остальные за секунды выводятся из них. Эта страница и есть набор для выживания: каждое тождество, которое оправдывает своё место, с короткими разобранными примерами для каждого.

Пифагорова тройка

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

Первое — самое используемое тождество во всей математике. Два других получаются делением обеих частей на $\cos^2$ или $\sin^2$.

Формулы суммы и разности

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$

Мнемоника для косинуса: «кос кос минус син син» с противоположным знаком; синус — «син кос плюс кос син» с тем же знаком.

Формулы двойного угла

Подставьте $\alpha = \beta = \theta$ в формулы суммы:

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$
$\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1$
$\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

Три формы версии для косинуса существуют благодаря пифагорову тождеству. Выбирайте ту, которая лучше согласуется с остальной частью вашего выражения.

Формулы половинного угла

Решая формулу двойного угла для косинуса относительно $\sin^2$ и $\cos^2$, получаем:

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}, \quad \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$

Это тождества понижения степени — именно благодаря им $\int \sin^2 x \, dx$ становится элементарным.

Разобранный пример: упрощение

Упростите $\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)}$.

1. Числитель: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.
2. Знаменатель: $1 + \cos(2x) = 1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x$.
3. Частное: $\frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.

Всё громоздкое выражение схлопывается до $\tan x$.

Типичные ошибки

• Ошибки в знаках в формулах суммы — выпишите формулу, не доверяйте памяти посреди решения.
• $\sin^2\theta$ означает $(\sin\theta)^2$, а не $\sin(\sin\theta)$.
• Забывают, что $2\theta$ это угол, а не удвоенное значение — $\sin(2 \cdot 30°) = \sin 60°$, а не $2\sin 30°$.

Попробуйте с ИИ-решателем тригонометрии

Решатель тригонометрии берёт любое выражение и применяет все эти тождества, чтобы упростить или решить его.

Похожие материалы:

• Калькулятор упрощения — те же идеи упрощения, в полиномиальном варианте
• Калькулятор интегралов — понижение степени критично для тригонометрических интегралов
• Калькулятор рядов — разложения sin и cos в ряд Тейлора используют их напрямую