Калькулятор интегралов

Интеграл — это фундаментальное понятие математического анализа, представляющее накопление величин. Существует два основных типа:

Неопределённый интеграл (первообразная)

Неопределённый интеграл от $f(x)$ — это семейство функций $F(x) + C$ таких, что $F'(x) = f(x)$:

$\int f(x)\,dx = F(x) + C$

где $C$ — постоянная интегрирования.

Определённый интеграл

Определённый интеграл вычисляет суммарную площадь со знаком под кривой $f(x)$ от $a$ до $b$:

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

Это соотношение известно как основная теорема анализа, связывающая дифференцирование и интегрирование.

Геометрически определённый интеграл представляет площадь между функцией и осью $x$ на промежутке $[a, b]$. Площади над осью положительны, а под осью — отрицательны.

Интегралы имеют широкое применение в физике (работа, перемещение), технике (обработка сигналов), теории вероятностей (математические ожидания) и экономике (потребительский излишек).

Основные правила интегрирования

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$

$\int \cos x\,dx = \sin x + C$

Метод 1: Замена переменной (u-подстановка)

Используется, когда подынтегральная функция содержит сложную функцию. Положите $u = g(x)$, тогда $du = g'(x)\,dx$:

$\int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$

Пример: $\int 2x \cdot e^{x^2}\,dx$. Положим $u = x^2$, $du = 2x\,dx$, тогда интеграл становится $\int e^u\,du = e^{x^2} + C$.

Метод 2: Интегрирование по частям

Основан на правиле произведения для производных:

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

Выбирайте $u$ и $dv$ по правилу LIATE (логарифмические, обратные тригонометрические, алгебраические, тригонометрические, показательные).

Пример: $\int x \cdot e^x\,dx$. Положим $u = x$, $dv = e^x\,dx$. Тогда $du = dx$, $v = e^x$. Результат: $xe^x - e^x + C$.

Метод 3: Разложение на простейшие дроби

Для рациональных функций $\frac{P(x)}{Q(x)}$ разложите на более простые дроби:

$\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \int \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right)dx = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$

Метод 4: Тригонометрическая подстановка

Для подынтегральных функций, содержащих $\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$ или $\sqrt{x^2 - a^2}$:

Сравнение методов

• Забывают постоянную интегрирования: каждый неопределённый интеграл должен содержать $+ C$. Первообразная — это семейство функций.
• Неверное применение правила степени: $\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C$, а не $\frac{x^0}{0}$. Правило степени $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ не применяется при $n = -1$.
• Ошибки знака с тригонометрическими интегралами: $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ (знак минус). $\int \cos x\,dx = \sin x + C$ (знак плюс).
• Забывают вернуться к исходной переменной: при использовании $u$-подстановки всегда преобразуйте окончательный ответ обратно к исходной переменной $x$.
• Неверные пределы в определённых интегралах: при использовании замены в определённых интегралах либо измените пределы под новую переменную, либо вернитесь к исходной переменной перед вычислением.