AI Math
Открыть приложение

Калькулятор производных

Находите производную любой функции с пошаговыми решениями на основе ИИ
x^3 + 2x^2 - 5x
sin(x) * cos(x)
e^(2x)
ln(x^2 + 1)

Что такое производная?

Производная измеряет мгновенную скорость изменения функции. Для функции f(x)f(x) производная f′(x)f'(x) определяется как:

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Геометрически производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Распространённые обозначения:

  • f′(x)f'(x) — обозначение Лагранжа
  • dydx\frac{dy}{dx} — обозначение Лейбница
  • y˙\dot{y} — обозначение Ньютона (используется в физике)

Основные правила дифференцирования

Правило степени

ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}

Правило суммы / разности

ddx[f(x)±g(x)]=f′(x)±g′(x)\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)

Правило произведения

ddx[f(x)⋅g(x)]=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Правило частного

ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

Цепное правило

ddx[f(g(x))]=f′(g(x))⋅g′(x)\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Распространённые производные

ФункцияПроизводная
sin⁡x\sin xcos⁡x\cos x
cos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin x
exe^xexe^x
ln⁡x\ln x1x\frac{1}{x}
axa^xaxln⁡aa^x \ln a

Типичные ошибки, которых следует избегать

  • Забывают цепное правило: при дифференцировании сложных функций вроде sin⁡(3x)\sin(3x) не забывайте умножать на производную внутренней функции (33).
  • Ошибки знака в правиле степени: ddxx−2=−2x−3\frac{d}{dx} x^{-2} = -2x^{-3}, а не −2x−1-2x^{-1}.
  • Путают правило произведения и цепное правило: (fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg' — это правило произведения; (f∘g)′=f′(g)⋅g′(f \circ g)' = f'(g) \cdot g' — это цепное правило.
  • Забывают константы: производная константы равна 00, а не 11.

Examples

Step 1: Примените правило степени к каждому слагаемому: ddx(x3)=3x2\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2
Step 2: ddx(2x2)=4x\frac{d}{dx}(2x^2) = 4x, ddx(−5x)=−5\frac{d}{dx}(-5x) = -5, ddx(3)=0\frac{d}{dx}(3) = 0
Step 3: Объедините: f′(x)=3x2+4x−5f'(x) = 3x^2 + 4x - 5
Answer: f′(x)=3x2+4x−5f'(x) = 3x^2 + 4x - 5

Step 1: Примените правило произведения: f′(x)=cos⁡(x)⋅cos⁡(x)+sin⁡(x)⋅(−sin⁡(x))f'(x) = \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x))
Step 2: Упростите: f′(x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)=cos⁡(2x)f'(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)
Answer: f′(x)=cos⁡(2x)f'(x) = \cos(2x)

Step 1: Примените цепное правило: внешняя функция eue^u, где u=2xu = 2x
Step 2: f′(x)=e2x⋅ddx(2x)=e2x⋅2f'(x) = e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x) = e^{2x} \cdot 2
Answer: f′(x)=2e2xf'(x) = 2e^{2x}

Frequently Asked Questions

Правило степени гласит, что производная x^n равна n·x^(n-1). Например, производная x³ равна 3x².

Используйте цепное правило при дифференцировании сложных функций — функций внутри других функций, таких как sin(3x), e^(x²) или ln(2x+1). Умножьте производную внешней функции на производную внутренней.

Производная находит скорость изменения (угловой коэффициент) функции, а интеграл находит накопленную площадь под кривой. Это взаимно обратные операции.

Related Solvers

Калькулятор квадратных уравненийКалькулятор стандартного отклонения

Related Guides

Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving