Единичная окружность без зубрёжки

Единичная окружность — самая полезная единственная картинка во всей тригонометрии. Большинство студентов пытается заучить её значения — есть более надёжный подход: выводить каждое стандартное значение из двух прямоугольных треугольников за секунды. Это руководство показывает, как.

Что такое единичная окружность?

Единичная окружность — это окружность радиуса $1$ с центром в начале координат: $x^2 + y^2 = 1$.

Для любого угла $\theta$ (отсчитываемого против часовой стрелки от положительной полуоси x) точка на окружности под этим углом равна:

$(\cos\theta,\ \sin\theta)$

Один этот факт даёт вам синус и косинус любого угла на свете — заучивать ничего не нужно, если вы умеете восстанавливать значения из треугольников.

Два ключевых треугольника

Треугольник 30-60-90

Отношение сторон: $1 : \sqrt{3} : 2$ (напротив $30°$ : напротив $60°$ : гипотенуза).

Так что при единичной гипотенузе:

• $\sin 30° = \frac{1}{2}$, $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60° = \frac{1}{2}$

Треугольник 45-45-90

Отношение сторон: $1 : 1 : \sqrt{2}$.

При единичной гипотенузе:

• $\sin 45° = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Первая четверть (от $0$ до $\pi/2$)

Пять ключевых углов. Постройте таблицу из треугольников выше:

$\theta$	$\cos\theta$	$\sin\theta$
$0$	$1$	$0$
$\pi/6 = 30°$	$\sqrt{3}/2$	$1/2$
$\pi/4 = 45°$	$\sqrt{2}/2$	$\sqrt{2}/2$
$\pi/3 = 60°$	$1/2$	$\sqrt{3}/2$
$\pi/2 = 90°$	$0$	$1$

Обратите внимание на изящество: $\sin$ идёт $0 \to 1/2 \to \sqrt{2}/2 \to \sqrt{3}/2 \to 1$, а $\cos$ идёт ту же последовательность в обратном порядке. Они зеркальны.

Расширение на другие четверти (без зубрёжки)

Используйте опорные углы + знак по четверти.

Опорный угол — это острый угол между $\theta$ и осью x. Вычислите его $\sin/\cos$ из четверти I, затем примените знаки:

Четверть	x-координата ($\cos$)	y-координата ($\sin$)
I (0–90°)	+	+
II (90–180°)	−	+
III (180–270°)	−	−
IV (270–360°)	+	−

Мнемоника: All Students Take Calculus → в QI все положительны, в QII только sin (S), в QIII только tan (T), в QIV только cos (C).

Пример: $\sin(150°)$.

• Опорный угол: $180° - 150° = 30°$.
• Четверть II: sin положителен.
• $\sin(150°) = +\sin(30°) = \frac{1}{2}$.

Пример: $\cos(225°)$.

• Опорный угол: $225° - 180° = 45°$.
• Четверть III: cos отрицателен.
• $\cos(225°) = -\cos(45°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

А что с тангенсом?

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$. Вычислите sin и cos, разделите.

Пример: $\tan(60°) = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.

Почему это лучше зубрёжки

• Восстанавливается из понимания — вы никогда не забудете два отношения сторон треугольников.
• Работает для любого угла, включая редкие вроде $\sin(330°)$.
• Обобщается на тождества, интегралы из анализа и задачи физики.
• Снижает тревогу на экзамене — никакой паники, если заученная таблица вылетела из головы.

Частые ошибки

• Путают знак по четверти. Всегда сделайте паузу и определите четверть, прежде чем применять знаки.
• Опорный угол против исходного угла. Вычисляйте тригонометрию опорного угла (всегда острого и положительного), затем применяйте знак.
• Смешивают радианы и градусы. $\sin(\pi/6)$ и $\sin(30°)$ — одно и то же; $\sin(\pi)$ в радианах равен $0$, и $\sin(180°)$ равен $0$ — то же самое. Но «$\sin(2)$» без единиц по умолчанию означает радианы (≈ 0,91), а не 2 градуса.

Попробуйте сами

Введите любой угол в калькулятор Sin/Cos/Tan — посмотрите визуализацию единичной окружности и пошаговый вывод.

Связанное:

• Глоссарий: единичная окружность
• Глоссарий: Sin/Cos/Tan
• Шпаргалка по тригонометрическим тождествам
• Разобранный пример: sin(30°)