Цепное правило: когда и как его применять (с примерами)

Цепное правило — это самый используемый инструмент дифференцирования и одновременно крупнейший источник ошибок. Усвоив схему «снаружи, потом внутри», вы сможете продифференцировать почти любую сложную функцию в три строки. Это руководство показывает схему, проходит через семь усложняющихся примеров и перечисляет четыре ошибки, которые стоит запомнить заранее.

Что говорит цепное правило

Если $f$ и $g$ дифференцируемы, то производная композиции $f(g(x))$ равна

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$

Словами: продифференцируйте внешнюю функцию, вычисленную во внутренней, затем умножьте на производную внутренней. Метки «внешняя» и «внутренняя» не обсуждаются — путаница в них переворачивает ответ.

Полезная мнемоника: цепное правило — это «внешняя производная умножить на внутреннюю производную», никогда не плюс и никогда не одна.

Разобранные примеры (легко → сложно)

Пример 1: $\frac{d}{dx}\sin(2x)$

• Внешняя: $\sin(u)$, внутренняя: $u = 2x$.
• $\frac{d}{du}\sin(u) = \cos(u)$, $\frac{d}{dx}(2x) = 2$.
• Результат: $\cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$.

Пример 2: $\frac{d}{dx} e^{x^2}$

• Внешняя: $e^u$, внутренняя: $u = x^2$.
• $\frac{d}{du} e^u = e^u$, $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$.
• Результат: $e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$.

Пример 3: $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^4$

• Внешняя: $u^4$, внутренняя: $u = 3x^2 + 1$.
• $\frac{d}{du} u^4 = 4u^3$, $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1) = 6x$.
• Результат: $4(3x^2 + 1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 1)^3$.

Пример 4: $\frac{d}{dx}\ln(\cos x)$

• Внешняя: $\ln u$, внутренняя: $u = \cos x$.
• $\frac{d}{du}\ln u = \frac{1}{u}$, $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$.
• Результат: $\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$.

Пример 5: $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1}$

• Перепишите как $(x^2 + 1)^{1/2}$.
• Внешняя: $u^{1/2}$, внутренняя: $u = x^2 + 1$.
• Внешняя производная: $\frac{1}{2}u^{-1/2}$. Внутренняя: $2x$.
• Результат: $\frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Пример 6: вложенная цепь — $\frac{d}{dx}\sin(\cos(x^2))$

Три слоя — примените цепное правило дважды.

• Самая внешняя: $\sin(u)$, внутренняя $u = \cos(x^2)$.
• $\frac{du}{dx} = -\sin(x^2) \cdot 2x$ (цепное правило для $\cos(x^2)$).
• Результат: $\cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)\cos(\cos(x^2))$.

Пример 7: цепное правило + правило произведения вместе — $\frac{d}{dx}\bigl(x^2 \sin(3x)\bigr)$

• Сначала правило произведения: $(fg)' = f'g + fg'$.
• $f = x^2$, $f' = 2x$. $g = \sin(3x)$, по цепному правилу $g' = 3\cos(3x)$.
• Результат: $2x \sin(3x) + x^2 \cdot 3\cos(3x) = 2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x)$.

Четыре ошибки, которые стоит запомнить

1. Забыть внутреннюю производную. Запись $\frac{d}{dx}\sin(2x) = \cos(2x)$ — самая частая ошибка цепного правила. Множитель $2$ обязателен.
2. Дифференцировать внутреннее до подстановки. $\frac{d}{dx}(3x^2+1)^4$ — это не $4(6x)^3$. Внешняя производная вычисляется на внутреннем выражении, а не на внутренней производной.
3. Принять вложенную функцию за произведение. $\sin(2x)$ — это композиция, а не произведение. Используйте цепное правило, а не правило произведения.
4. Неправильно расставить скобки в тригонометрических степенях. $\sin^2(x) = (\sin x)^2$ — внешняя $u^2$, внутренняя $\sin x$. Легко спутать с $\sin(x^2)$, где внешняя $\sin$, а внутренняя $x^2$.

Когда застряли: приём подстановки

Положите $u = \text{(внутренняя часть)}$, найдите $\frac{dy}{du}$ и $\frac{du}{dx}$, перемножьте. Даже если функция выглядит устрашающе, эта механическая подстановка работает всегда.

Попробуйте сами

Вставьте любую сложную функцию в наш бесплатный калькулятор производных и наблюдайте каждое применение цепного правила пошагово. Сочетайте его с нашим разделом шпаргалки по цепному правилу для быстрой справки во время домашних заданий.

Для более глубокого смежного материала:

• Калькулятор пределов — пределы лежат в основе цепного правила
• Калькулятор интегралов — подстановка — это цепное правило в обратную сторону
• Разобранный пример: производная sin(2x)
• Разобранный пример: производная e^(2x)