Приёмы вычисления пределов

Стандартный предел (sin)

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Основа всех тригонометрических пределов.

Правило Лопиталя

$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Применяйте, когда предел равен $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$ .

Правила дифференцирования

Правило степени

$\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$

Работает для любого вещественного показателя.

Правило произведения

$(fg)' = f'g + fg'$

Произведение двух функций — дифференцируйте каждую по очереди.

Правило частного

$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

Для отношений; запомните порядок $f'g$ перед $fg'$ .

Правило цепочки

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Сначала внешняя, потом внутренняя; самый частый источник ошибок.

Часто используемые производные

sin

$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$

cos

$\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$

Обратите внимание на знак минус.

e^x

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

Единственная функция с неподвижной точкой.

ln x

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$

Область определения $x > 0$ .

Таблица интегралов

Правило степени (интеграл)

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad(n \neq -1)$

Обратная операция к правилу степени дифференцирования.

1/x

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

Исключение $n=-1$ из правила степени.

sin / cos

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C,\quad \int \cos x\,dx = \sin x + C$

Запомните знаки — их легко перепутать.

Экспонента

$\int e^x\,dx = e^x + C$

Совпадает со своей производной.

Ряды Тейлора / Маклорена

e^x

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

Сходится для всех вещественных $x$ .

sin x

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Только нечётные степени.

cos x

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

Только чётные степени.

Математический анализ Formulas