연쇄 법칙: 언제 어떻게 적용하는가 (예제 포함)

연쇄 법칙은 미분에서 가장 많이 쓰이는 도구이자 가장 큰 실수의 원천이기도 합니다. "바깥-그다음-안쪽" 패턴을 체화하면 거의 모든 합성함수를 세 줄 안에 미분할 수 있습니다. 이 가이드는 그 패턴을 보여 주고, 난도를 높여 가는 일곱 가지 예제를 풀며, 미리 외워 둘 가치가 있는 네 가지 실수를 정리합니다.

연쇄 법칙이 말하는 것

$f$ 와 $g$ 가 미분 가능하면, 합성 $f(g(x))$ 의 도함수는

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$

말로 하면: 바깥 함수를 안쪽에서 평가해 미분하고, 안쪽의 도함수를 곱한다. "바깥"과 "안쪽" 표시는 타협 불가입니다. 헷갈리면 답이 뒤집힙니다.

유용한 암기법: 연쇄 법칙은 "바깥 도함수 곱하기 안쪽 도함수"이며, 결코 더하기도, 하나만도 아닙니다.

풀이 예제 (쉬움 → 어려움)

예제 1: $\frac{d}{dx}\sin(2x)$

• 바깥: $\sin(u)$, 안쪽: $u = 2x$.
• $\frac{d}{du}\sin(u) = \cos(u)$, $\frac{d}{dx}(2x) = 2$.
• 결과: $\cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$.

예제 2: $\frac{d}{dx} e^{x^2}$

• 바깥: $e^u$, 안쪽: $u = x^2$.
• $\frac{d}{du} e^u = e^u$, $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$.
• 결과: $e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$.

예제 3: $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^4$

• 바깥: $u^4$, 안쪽: $u = 3x^2 + 1$.
• $\frac{d}{du} u^4 = 4u^3$, $\frac{d}{dx}(3x^2 + 1) = 6x$.
• 결과: $4(3x^2 + 1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 1)^3$.

예제 4: $\frac{d}{dx}\ln(\cos x)$

• 바깥: $\ln u$, 안쪽: $u = \cos x$.
• $\frac{d}{du}\ln u = \frac{1}{u}$, $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$.
• 결과: $\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$.

예제 5: $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1}$

• $(x^2 + 1)^{1/2}$ 로 다시 씁니다.
• 바깥: $u^{1/2}$, 안쪽: $u = x^2 + 1$.
• 바깥 도함수: $\frac{1}{2}u^{-1/2}$. 안쪽: $2x$.
• 결과: $\frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

예제 6: 중첩 연쇄 — $\frac{d}{dx}\sin(\cos(x^2))$

세 겹 — 연쇄 법칙을 두 번 적용합니다.

• 가장 바깥: $\sin(u)$, 안쪽 $u = \cos(x^2)$.
• $\frac{du}{dx} = -\sin(x^2) \cdot 2x$ ($\cos(x^2)$ 에 연쇄 법칙).
• 결과: $\cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)\cos(\cos(x^2))$.

예제 7: 연쇄 법칙 + 곱의 법칙 함께 — $\frac{d}{dx}\bigl(x^2 \sin(3x)\bigr)$

• 먼저 곱의 법칙: $(fg)' = f'g + fg'$.
• $f = x^2$, $f' = 2x$. $g = \sin(3x)$, 연쇄 법칙으로 $g' = 3\cos(3x)$.
• 결과: $2x \sin(3x) + x^2 \cdot 3\cos(3x) = 2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x)$.

외워 둘 가치가 있는 네 가지 실수

1. 안쪽 도함수를 잊는 것. $\frac{d}{dx}\sin(2x) = \cos(2x)$ 라고 쓰는 것이 가장 흔한 연쇄 법칙 오류입니다. 인수 $2$ 는 필수입니다.
2. 대입 전에 안쪽을 미분하는 것. $\frac{d}{dx}(3x^2+1)^4$ 는 $4(6x)^3$ 이 아닙니다. 바깥 도함수는 안쪽 식에서 평가하지, 안쪽 도함수에서 평가하지 않습니다.
3. 중첩 함수를 곱으로 착각하는 것. $\sin(2x)$ 는 합성이지 곱이 아닙니다. 곱의 법칙이 아니라 연쇄 법칙을 쓰세요.
4. 삼각함수 거듭제곱 괄호를 잘못 묶는 것. $\sin^2(x) = (\sin x)^2$ — 바깥은 $u^2$, 안쪽은 $\sin x$. 바깥이 $\sin$, 안쪽이 $x^2$ 인 $\sin(x^2)$ 와 혼동하기 쉽습니다.

막힐 때: 치환 요령

$u = \text{(안쪽 부분)}$ 으로 놓고, $\frac{dy}{du}$ 와 $\frac{du}{dx}$ 를 구해 곱합니다. 함수가 위협적으로 보여도 이 기계적 치환은 항상 작동합니다.

직접 해보기

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