극한 계산기

극한은 입력이 특정 점에 접근할 때 함수가 접근하는 값을 설명합니다. 형식적 정의는 다음과 같습니다.

$\lim_{x \to a} f(x) = L$

이는 모든 $\epsilon > 0$에 대해, $0 < |x - a| < \delta$이면 $|f(x) - L| < \epsilon$이 되는 $\delta > 0$이 존재함을 의미합니다.

직관적으로 극한은 다음에 답합니다: "$x$가 $a$에 가까워질 때 $f(x)$는 어떤 값에 임의로 가까워지는가?"

단측극한은 한 방향에서 접근합니다.

• 좌극한: $\lim_{x \to a^-} f(x)$
• 우극한: $\lim_{x \to a^+} f(x)$

양측극한은 두 단측극한이 모두 존재하고 같을 때만 존재합니다.

무한대에서의 극한은 끝 거동을 설명합니다.

$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$

이는 $x$가 한없이 커질 때 $f(x)$가 $L$에 접근함을 의미합니다.

극한은 미적분의 기초입니다 — 도함수, 적분, 연속성을 정의합니다. 함수는 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$일 때 그리고 그때만 $a$에서 연속입니다.

방법 1: 직접 대입

가장 간단한 접근법 — 값을 대입합니다. $f(a)$가 정의되고 함수가 $a$에서 연속이면:

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

예시: $\lim_{x \to 3} (x^2 + 1) = 9 + 1 = 10$

방법 2: 인수분해와 약분

직접 대입이 $\frac{0}{0}$을 줄 때, 인수분해하고 약분합니다.

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2}(x+2) = 4$

방법 3: 로피탈의 정리

직접 대입이 $\frac{0}{0}$ 또는 $\frac{\infty}{\infty}$를 줄 때:

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

단, 우변의 극한이 존재해야 합니다.

예시: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$

방법 4: 압축정리(샌드위치 정리)

$a$ 근처에서 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$이고 $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$이면, $\lim_{x \to a} f(x) = L$입니다.

방법 5: 켤레 곱하기

근호가 있는 식의 경우:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{1}{4}$

중요한 기본 극한

방법 비교

• 부정형 확인 없이 로피탈의 정리 적용: 이 정리는 $\frac{0}{0}$ 또는 $\frac{\infty}{\infty}$에만 적용됩니다. $\frac{1}{0}$ 같은 다른 형태에 사용하면 틀린 답이 나옵니다.
• 극한 존재와 함수값 혼동: $f(a)$가 정의되지 않아도 $\lim_{x \to a} f(x)$는 존재할 수 있습니다. 극한은 그 점의 값이 아니라 근처 값에 의존합니다.
• 단측극한 무시: 조각별 함수나 불연속점에서는 항상 좌극한과 우극한을 각각 따로 확인하세요.
• 부정형 산술에서 극한을 잘못 분배: 둘 다 $\infty$일 때 $\lim(f - g) \neq \lim f - \lim g$입니다($\infty - \infty$가 되며 이는 부정형).
• $\frac{\infty}{\infty}$를 1로 취급: $\frac{\infty}{\infty}$는 부정형입니다 — 어떤 값이든 될 수 있습니다.