극한 단축법

표준 극한 (sin)

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

모든 삼각함수 극한의 기초.

로피탈의 정리

$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

극한이 $\frac{0}{0}$ 또는 $\frac{\infty}{\infty}$ 일 때 사용.

미분 법칙

거듭제곱 법칙

$\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$

임의의 실수 지수에 대해 성립.

곱의 법칙

$(fg)' = f'g + fg'$

두 함수의 곱 — 각각을 번갈아 미분.

몫의 법칙

$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

비율에 사용; $f'g$ 가 $fg'$ 보다 먼저 오는 순서를 기억.

연쇄 법칙

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

바깥 함수 먼저, 그다음 안쪽; 가장 흔한 실수 원인.

자주 쓰는 도함수

sin

$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$

cos

$\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$

음의 부호에 주의.

e^x

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

유일한 고정점 함수.

ln x

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$

정의역 $x > 0$ .

적분표

거듭제곱 법칙 (적분)

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad(n \neq -1)$

미분 거듭제곱 법칙의 역.

1/x

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

거듭제곱 법칙의 $n=-1$ 예외.

sin / cos

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C,\quad \int \cos x\,dx = \sin x + C$

부호를 외워 두기 — 헷갈리기 쉬움.

지수함수

$\int e^x\,dx = e^x + C$

그 도함수와 동일.

테일러 / 매클로린 급수

e^x

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

모든 실수 $x$ 에 대해 수렴.

sin x

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

홀수 거듭제곱만.

cos x

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

짝수 거듭제곱만.

미적분 Formulas