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미분 계산기

AI 기반 단계별 풀이로 모든 함수의 도함수를 구합니다

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∑Math Input
x^3 + 2x^2 - 5x
sin(x) * cos(x)
e^(2x)
ln(x^2 + 1)

미분이란?

도함수는 함수의 순간 변화율을 측정합니다. 함수 f(x)f(x)에 대해 도함수 f′(x)f'(x)는 다음과 같이 정의됩니다.

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

기하학적으로 한 점에서의 도함수는 그 점에서 함수 그래프에 대한 접선의 기울기와 같습니다.

일반적인 표기법:

  • f′(x)f'(x) — 라그랑주 표기법
  • dydx\frac{dy}{dx} — 라이프니츠 표기법
  • y˙\dot{y} — 뉴턴 표기법(물리학에서 사용)

기본 미분 법칙

거듭제곱 법칙

ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}

합 / 차 법칙

ddx[f(x)±g(x)]=f′(x)±g′(x)\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)

곱의 법칙

ddx[f(x)⋅g(x)]=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

몫의 법칙

ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

연쇄 법칙

ddx[f(g(x))]=f′(g(x))⋅g′(x)\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

자주 쓰는 도함수

함수도함수
sin⁡x\sin xcos⁡x\cos x
cos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin x
exe^xexe^x
ln⁡x\ln x1x\frac{1}{x}
axa^xaxln⁡aa^x \ln a

피해야 할 흔한 실수

  • 연쇄 법칙을 잊는 것: sin⁡(3x)\sin(3x) 같은 합성함수를 미분할 때 안쪽 도함수(33)를 곱하는 것을 잊지 마세요.
  • 거듭제곱 법칙의 부호 오류: ddxx−2=−2x−3\frac{d}{dx} x^{-2} = -2x^{-3}이며 −2x−1-2x^{-1}이 아닙니다.
  • 곱의 법칙과 연쇄 법칙의 혼동: (fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg'는 곱의 법칙이고, (f∘g)′=f′(g)⋅g′(f \circ g)' = f'(g) \cdot g'는 연쇄 법칙입니다.
  • 상수를 잊는 것: 상수의 도함수는 00이며 11이 아닙니다.

Examples

Step 1: 각 항에 거듭제곱 법칙을 적용합니다: ddx(x3)=3x2\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2
Step 2: ddx(2x2)=4x\frac{d}{dx}(2x^2) = 4x, ddx(−5x)=−5\frac{d}{dx}(-5x) = -5, ddx(3)=0\frac{d}{dx}(3) = 0
Step 3: 합칩니다: f′(x)=3x2+4x−5f'(x) = 3x^2 + 4x - 5
Answer: f′(x)=3x2+4x−5f'(x) = 3x^2 + 4x - 5

Step 1: 곱의 법칙을 적용합니다: f′(x)=cos⁡(x)⋅cos⁡(x)+sin⁡(x)⋅(−sin⁡(x))f'(x) = \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x))
Step 2: 정리합니다: f′(x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)=cos⁡(2x)f'(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)
Answer: f′(x)=cos⁡(2x)f'(x) = \cos(2x)

Step 1: 연쇄 법칙을 적용합니다: 바깥 함수 eue^u, u=2xu = 2x
Step 2: f′(x)=e2x⋅ddx(2x)=e2x⋅2f'(x) = e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x) = e^{2x} \cdot 2
Answer: f′(x)=2e2xf'(x) = 2e^{2x}

Frequently Asked Questions

거듭제곱 법칙은 x^n의 도함수가 n·x^(n-1)이라고 말합니다. 예를 들어 x³의 도함수는 3x²입니다.

sin(3x), e^(x²), ln(2x+1) 같은 합성함수(다른 함수 안의 함수)를 미분할 때 연쇄 법칙을 사용합니다. 바깥 도함수에 안쪽 도함수를 곱합니다.

미분은 함수의 변화율(기울기)을 구하고, 적분은 곡선 아래의 누적 넓이를 구합니다. 둘은 서로 역연산입니다.

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