적분 계산기

적분은 양의 누적을 나타내는 미적분의 기본 개념입니다. 두 가지 주요 유형이 있습니다.

부정적분 (역도함수)

$f(x)$의 부정적분은 $F'(x) = f(x)$를 만족하는 함수족 $F(x) + C$입니다.

$\int f(x)\,dx = F(x) + C$

여기서 $C$는 적분상수입니다.

정적분

정적분은 $a$에서 $b$까지 곡선 $f(x)$ 아래의 순부호 넓이를 계산합니다.

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

이 관계는 미분과 적분을 연결하는 미적분의 기본정리로 알려져 있습니다.

기하학적으로 정적분은 구간 $[a, b]$에서 함수와 $x$축 사이의 넓이를 나타냅니다. 축 위의 넓이는 양수이고, 축 아래의 넓이는 음수입니다.

적분은 물리학(일, 변위), 공학(신호 처리), 확률(기댓값), 경제학(소비자 잉여)에서 폭넓게 응용됩니다.

기본 적분 법칙

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$

$\int \cos x\,dx = \sin x + C$

방법 1: 치환적분 (u-치환)

피적분함수에 합성함수가 포함될 때 사용합니다. $u = g(x)$로 놓으면 $du = g'(x)\,dx$입니다.

$\int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$

예시: $\int 2x \cdot e^{x^2}\,dx$. $u = x^2$, $du = 2x\,dx$로 놓으면 적분은 $\int e^u\,du = e^{x^2} + C$가 됩니다.

방법 2: 부분적분

도함수의 곱의 법칙에 기반합니다.

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

LIATE 규칙(로그함수, 역삼각함수, 대수함수, 삼각함수, 지수함수)을 사용하여 $u$와 $dv$를 선택합니다.

예시: $\int x \cdot e^x\,dx$. $u = x$, $dv = e^x\,dx$로 놓습니다. 그러면 $du = dx$, $v = e^x$입니다. 결과: $xe^x - e^x + C$.

방법 3: 부분분수

유리함수 $\frac{P(x)}{Q(x)}$에 대해 더 간단한 분수로 분해합니다.

$\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \int \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right)dx = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$

방법 4: 삼각치환

$\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$, $\sqrt{x^2 - a^2}$를 포함하는 피적분함수에 대해:

방법 비교

• 적분상수를 잊는 것: 모든 부정적분은 $+ C$를 포함해야 합니다. 역도함수는 함수족입니다.
• 거듭제곱 법칙의 잘못된 적용: $\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C$이며 $\frac{x^0}{0}$이 아닙니다. 거듭제곱 법칙 $\frac{x^{n+1}}{n+1}$은 $n = -1$일 때 적용되지 않습니다.
• 삼각함수 적분의 부호 오류: $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ (음의 부호). $\int \cos x\,dx = \sin x + C$ (양의 부호).
• 다시 대입하는 것을 잊는 것: $u$-치환을 사용할 때, 항상 최종 답을 원래 변수 $x$로 다시 변환하세요.
• 정적분에서 잘못된 범위: 정적분에서 치환을 사용할 때, 새 변수에 맞게 적분 한계를 바꾸거나 계산 전에 다시 대입하세요.