初項 3、公差 7 の等差数列がある。第何項以降、すべての項が 2018 より大きくなるか。

Step-by-step solution

1. 1

   一般項を書く。 $u_n=3+(n-1)\cdot 7=7n-4$ 数列は増加するので、ある項が $2018$ を超えれば、それ以降の項もすべて超える。

2. 2

   狭義の不等式を立てる。 $7n-4>2018\quad\Longrightarrow\quad 7n>2022\quad\Longrightarrow\quad n>\frac{2022}{7}\approx 288.86$

3. 3

   次の整数に切り上げる。 $288.86$ より真に大きい最小の整数は $n=289$ である。

4. 4

   境目の項を実際に確かめる。 $u_{288}=7(288)-4=2012\le 2018,\qquad u_{289}=7(289)-4=2019>2018$

5. 5

   答え。 第 289 項以降はどの項も $2018$ を超えるので、選択肢 B である。選択肢 C は $u_{288}=2012$ がまだ小さすぎるため不適である。