不等式ソルバー

不等式とは、次の記号のいずれかを使って2つの式を比較する数学的な記述です。

• $<$（より小さい）
• $>$（より大きい）
• $\leq$（以下）
• $\geq$（以上）

方程式（「どの値が両辺を等しくするか？」を問う）とは異なり、不等式は「どの値が一方を他方より大きく（または小さく）するか？」を問います。

例えば、不等式:

$2x - 5 > 3$

は、$x$ のどの値で $2x - 5$ が $3$ より大きくなるかを問います。

不等式の解は通常、単一の数ではなく値の範囲（区間）です。解はしばしば区間表記で表されます。

• $(a, b)$: $a$ と $b$ の間の値すべて（両端を含まない）
• $[a, b]$: $a$ から $b$ までの値すべて（両端を含む）
• $(-\infty, a) \cup (b, \infty)$: $a$ より小さいか $b$ より大きい値すべて

不等式は最適化、制約問題、関数の定義域と値域の決定において基本的です。

1. 一次不等式

一次方程式と同じように解きますが、1つの重要な規則があります: 負の数で掛けたり割ったりするときは不等号の向きを反転する。

例: $2x - 5 > 3$ を解く

1. 5 を加える: $2x > 8$
2. 2 で割る: $x > 4$

解: $(4, \infty)$

符号反転の例: $-3x + 6 \leq 12$ を解く

1. 6 を引く: $-3x \leq 6$
2. $-3$ で割る（反転！）: $x \geq -2$

2. 二次不等式

まず対応する方程式を解き、次に区間を調べます。

例: $x^2 - 4x - 5 > 0$ を解く

1. 因数分解: $(x - 5)(x + 1) > 0$
2. 臨界点: $x = -1$ と $x = 5$
3. 区間を調べる:
   • $x < -1$: $(-)(-) = (+) > 0$ ✓
   • $-1 < x < 5$: $(-)(+) = (-) < 0$ ✗
   • $x > 5$: $(+)(+) = (+) > 0$ ✓

解: $(-\infty, -1) \cup (5, \infty)$

3. 分数不等式

分子と分母が0になる箇所（臨界点）を見つけ、各区間で符号を調べます。負になりうる式で両辺を掛けてはいけません。

4. 絶対値不等式

• $|x| < a$ は $-a < x < a$ を意味します
• $|x| > a$ は $x < -a$ または $x > a$ を意味します

5. 符号表の方法

多項式・分数不等式では、各区間における各因数の符号を示す符号表を作ります。

• 不等号の反転を忘れる: 両辺に負の数を掛けたり割ったりするときは、不等号の向きを逆にしなければなりません。
• 臨界点の含め方の誤り: 厳密な不等式（$<$、$>$）では臨界点は含めません。$\leq$ や $\geq$ では含めます。
• 符号を考えずに変数で掛ける: 両辺に $x$ を掛ける場合、$x > 0$ と $x < 0$ の場合を別々に考えなければなりません。
• 連立不等式の扱いの誤り: $a < f(x) < b$ では、両方の部分を独立にではなく同時に解きます。
• 誤った表記で解を書く: 厳密な不等式には丸括弧、含む不等式には角括弧を使います。