連鎖律：いつ・どう使うか（例題付き）

連鎖律は微分で最もよく使う道具であり、同時に最大の間違いの源でもあります。「外→内」のパターンを体得すれば、ほとんどの合成関数を三行で微分できます。このガイドではそのパターンを示し、難度を上げた七つの例題を解き、あらかじめ覚えておく価値のある四つの間違いを挙げます。

連鎖律が言っていること

$f$ と $g$ が微分可能なら、合成 $f(g(x))$ の導関数は

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$

言葉で言えば：外側の関数を内側で評価して微分し、内側の導関数を掛ける。「外側」と「内側」のラベルは譲れません。取り違えると答えが反転します。

役立つ語呂：連鎖律は「外側の導関数 かける 内側の導関数」であり、足し算でも片方だけでもありません。

例題（易 → 難）

例 1：$\frac{d}{dx}\sin(2x)$

• 外：$\sin(u)$、内：$u = 2x$。
• $\frac{d}{du}\sin(u) = \cos(u)$、$\frac{d}{dx}(2x) = 2$。
• 結果：$\cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$。

例 2：$\frac{d}{dx} e^{x^2}$

• 外：$e^u$、内：$u = x^2$。
• $\frac{d}{du} e^u = e^u$、$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$。
• 結果：$e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$。

例 3：$\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^4$

• 外：$u^4$、内：$u = 3x^2 + 1$。
• $\frac{d}{du} u^4 = 4u^3$、$\frac{d}{dx}(3x^2 + 1) = 6x$。
• 結果：$4(3x^2 + 1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 1)^3$。

例 4：$\frac{d}{dx}\ln(\cos x)$

• 外：$\ln u$、内：$u = \cos x$。
• $\frac{d}{du}\ln u = \frac{1}{u}$、$\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$。
• 結果：$\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$。

例 5：$\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1}$

• $(x^2 + 1)^{1/2}$ と書き換える。
• 外：$u^{1/2}$、内：$u = x^2 + 1$。
• 外側の導関数：$\frac{1}{2}u^{-1/2}$。内：$2x$。
• 結果：$\frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$。

例 6：入れ子の連鎖 — $\frac{d}{dx}\sin(\cos(x^2))$

三層 — 連鎖律を二回適用します。

• 最も外：$\sin(u)$、内 $u = \cos(x^2)$。
• $\frac{du}{dx} = -\sin(x^2) \cdot 2x$（$\cos(x^2)$ に連鎖律）。
• 結果：$\cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)\cos(\cos(x^2))$。

例 7：連鎖律と積の微分を同時に — $\frac{d}{dx}\bigl(x^2 \sin(3x)\bigr)$

• まず積の微分：$(fg)' = f'g + fg'$。
• $f = x^2$、$f' = 2x$。$g = \sin(3x)$、連鎖律で $g' = 3\cos(3x)$。
• 結果：$2x \sin(3x) + x^2 \cdot 3\cos(3x) = 2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x)$。

覚えておく価値のある四つの間違い

1. 内側の導関数を忘れる。 $\frac{d}{dx}\sin(2x) = \cos(2x)$ と書くのは最もよくある連鎖律の誤りです。因子 $2$ は必須です。
2. 代入の前に内側を微分する。 $\frac{d}{dx}(3x^2+1)^4$ は $4(6x)^3$ ではありません。外側の導関数は内側の式で評価し、内側の導関数では評価しません。
3. 入れ子の関数を積と取り違える。 $\sin(2x)$ は合成であり、積ではありません。連鎖律を使い、積の微分は使いません。
4. 三角の累乗の括弧を間違える。 $\sin^2(x) = (\sin x)^2$ — 外は $u^2$、内は $\sin x$。外が $\sin$、内が $x^2$ の $\sin(x^2)$ と混同しやすいです。

詰まったら：置換の小技

$u = \text{(内側の部分)}$ とおき、$\frac{dy}{du}$ と $\frac{du}{dx}$ を求めて掛ける。関数が威圧的に見えても、この機械的な置換は常に使えます。

自分で試そう

任意の合成関数を無料の導関数計算機に貼り付け、連鎖律の各適用を段階的に見てみましょう。宿題中の素早い参照には連鎖律チートシートのセクションと併せてどうぞ。

さらに深い関連資料：

• 極限計算機 — 極限は連鎖律の土台になる
• 積分計算機 — 置換積分は連鎖律を逆向きに走らせたもの
• 例題：sin(2x) の導関数
• 例題：e^(2x) の導関数