積分計算機

積分は、量の蓄積を表す微分積分学の基本概念です。主に2つの種類があります。

不定積分（原始関数）

$f(x)$ の不定積分は、$F'(x) = f(x)$ を満たす関数の族 $F(x) + C$ です。

$\int f(x)\,dx = F(x) + C$

ここで $C$ は積分定数です。

定積分

定積分は、$a$ から $b$ までの曲線 $f(x)$ の下の符号付き面積を計算します。

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

この関係は微分積分学の基本定理として知られ、微分と積分を結びつけます。

幾何学的には、定積分は区間 $[a, b]$ における関数と $x$ 軸の間の面積を表します。軸より上の面積は正、下の面積は負です。

積分は物理学（仕事、変位）、工学（信号処理）、確率（期待値）、経済学（消費者余剰）など幅広く応用されます。

基本的な積分公式

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$

$\int \cos x\,dx = \sin x + C$

方法1：置換積分（u 置換）

被積分関数に合成関数が含まれるときに使います。$u = g(x)$ とおくと $du = g'(x)\,dx$：

$\int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$

例：$\int 2x \cdot e^{x^2}\,dx$。$u = x^2$、$du = 2x\,dx$ とおくと、積分は $\int e^u\,du = e^{x^2} + C$ になります。

方法2：部分積分

微分の積の法則に基づきます。

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

LIATE 則（対数、逆三角、代数、三角、指数）を使って $u$ と $dv$ を選びます。

例：$\int x \cdot e^x\,dx$。$u = x$、$dv = e^x\,dx$ とおくと $du = dx$、$v = e^x$。結果：$xe^x - e^x + C$。

方法3：部分分数分解

有理関数 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ をより単純な分数に分解します。

$\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \int \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right)dx = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$

方法4：三角関数による置換

$\sqrt{a^2 - x^2}$、$\sqrt{a^2 + x^2}$、$\sqrt{x^2 - a^2}$ を含む被積分関数の場合：

手法の比較

• 積分定数を忘れる：すべての不定積分には $+ C$ を含めなければなりません。原始関数は関数の族です。
• べき乗則の誤った適用：$\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C$ であり、$\frac{x^0}{0}$ ではありません。$n = -1$ のときべき乗則 $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ は使えません。
• 三角関数の積分での符号誤り：$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$（負号）。$\int \cos x\,dx = \sin x + C$（正号）。
• 元の変数に戻し忘れる：$u$ 置換を使うときは、最終的な答えを必ず元の変数 $x$ に戻してください。
• 定積分での誤った積分範囲：定積分で置換を使うときは、積分範囲を新しい変数に合わせて変えるか、評価する前に元に戻してください。