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微分計算機

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∑Math Input
x^3 + 2x^2 - 5x
sin(x) * cos(x)
e^(2x)
ln(x^2 + 1)

微分とは？

導関数は関数の瞬間的な変化率を測ります。関数 f(x)f(x) に対して、導関数 f′(x)f'(x) は次のように定義されます。

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

幾何学的には、ある点における導関数は、その点での関数のグラフへの接線の傾きに等しくなります。

一般的な記法:

  • f′(x)f'(x) — ラグランジュの記法
  • dydx\frac{dy}{dx} — ライプニッツの記法
  • y˙\dot{y} — ニュートンの記法（物理学で使用）

基本的な微分の法則

べき乗則

ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}

和・差の法則

ddx[f(x)±g(x)]=f′(x)±g′(x)\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)

積の法則

ddx[f(x)⋅g(x)]=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

商の法則

ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

連鎖律

ddx[f(g(x))]=f′(g(x))⋅g′(x)\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

よく使う導関数

関数導関数
sin⁡x\sin xcos⁡x\cos x
cos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin x
exe^xexe^x
ln⁡x\ln x1x\frac{1}{x}
axa^xaxln⁡aa^x \ln a

避けるべきよくある間違い

  • 連鎖律を忘れる: sin⁡(3x)\sin(3x) のような合成関数を微分するとき、内側の導関数（33）を掛けることを忘れないでください。
  • べき乗則の符号の誤り: ddxx−2=−2x−3\frac{d}{dx} x^{-2} = -2x^{-3} であり、−2x−1-2x^{-1} ではありません。
  • 積の法則と連鎖律の混同: (fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg' は積の法則、(f∘g)′=f′(g)⋅g′(f \circ g)' = f'(g) \cdot g' は連鎖律です。
  • 定数を忘れる: 定数の導関数は 00 であり、11 ではありません。

Examples

Step 1: 各項にべき乗則を適用する: ddx(x3)=3x2\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2
Step 2: ddx(2x2)=4x\frac{d}{dx}(2x^2) = 4x, ddx(−5x)=−5\frac{d}{dx}(-5x) = -5, ddx(3)=0\frac{d}{dx}(3) = 0
Step 3: まとめる: f′(x)=3x2+4x−5f'(x) = 3x^2 + 4x - 5
Answer: f′(x)=3x2+4x−5f'(x) = 3x^2 + 4x - 5

Step 1: 積の法則を適用する: f′(x)=cos⁡(x)⋅cos⁡(x)+sin⁡(x)⋅(−sin⁡(x))f'(x) = \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x))
Step 2: 簡約する: f′(x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)=cos⁡(2x)f'(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)
Answer: f′(x)=cos⁡(2x)f'(x) = \cos(2x)

Step 1: 連鎖律を適用する: 外側の関数 eue^u、u=2xu = 2x
Step 2: f′(x)=e2x⋅ddx(2x)=e2x⋅2f'(x) = e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x) = e^{2x} \cdot 2
Answer: f′(x)=2e2xf'(x) = 2e^{2x}

Frequently Asked Questions

べき乗則は、x^n の導関数が n·x^(n-1) であることを述べています。例えば x³ の導関数は 3x² です。

sin(3x)、e^(x²)、ln(2x+1) のような合成関数（他の関数の中の関数）を微分するときに連鎖律を使います。外側の導関数に内側の導関数を掛けます。

微分は関数の変化率（傾き）を求め、積分は曲線の下の累積面積を求めます。これらは互いに逆の演算です。

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