極限のショートカット

標準極限（sin）

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

すべての三角関数の極限の基礎。

ロピタルの定理

$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

極限が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ のときに使う。

微分法則

べき乗の微分法則

$\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$

任意の実数の指数で成り立つ。

積の微分法則

$(fg)' = f'g + fg'$

2つの関数の積——それぞれを順番に微分する。

商の微分法則

$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

比に使う；順序は $f'g$ が $fg'$ の前であることを覚える。

連鎖律

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

外側を先に、次に内側；最も間違いが多い箇所。

よく使う導関数

sin

$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$

cos

$\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$

マイナス符号に注意。

e^x

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

唯一の不動点関数。

ln x

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$

定義域 $x > 0$ 。

積分表

べき乗の積分法則

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad(n \neq -1)$

微分のべき乗法則の逆。

1/x

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

べき乗法則における $n=-1$ の例外。

sin / cos

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C,\quad \int \cos x\,dx = \sin x + C$

符号を覚える——混同しやすい。

指数関数

$\int e^x\,dx = e^x + C$

その導関数と同じ。

テイラー / マクローリン級数

e^x

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

すべての実数 $x$ で収束する。

sin x

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

奇数べきのみ。

cos x

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

偶数べきのみ。

微積分 Formulas