極限計算機

極限とは、入力がある特定の点に近づくときに関数が近づいていく値を表します。形式的な定義は次の通りです。

$\lim_{x \to a} f(x) = L$

これは、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在し、$0 < |x - a| < \delta$ ならば $|f(x) - L| < \epsilon$ となることを意味します。

直感的には、極限は次の問いに答えます。「$x$ が $a$ に近づくにつれて、$f(x)$ はどんな値に限りなく近づくのか？」

片側極限は、一方向からのみ近づきます。

• 左側極限：$\lim_{x \to a^-} f(x)$
• 右側極限：$\lim_{x \to a^+} f(x)$

両側極限は、両方の片側極限が存在し、かつ等しいときにのみ存在します。

無限大での極限は、関数の末端での振る舞いを表します。

$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$

これは、$x$ が限りなく大きくなるにつれて $f(x)$ が $L$ に近づくことを意味します。

極限は微分積分学の基礎であり、導関数、積分、連続性を定義します。関数が $a$ で連続であるのは、$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ が成り立つとき、かつそのときに限ります。

方法1：直接代入

最も単純な方法 — 値を代入します。$f(a)$ が定義されていて、関数が $a$ で連続であれば、

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

例：$\lim_{x \to 3} (x^2 + 1) = 9 + 1 = 10$

方法2：因数分解と約分

直接代入で $\frac{0}{0}$ になる場合、因数分解して約分します。

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2}(x+2) = 4$

方法3：ロピタルの定理

直接代入で $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ になる場合、

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

ただし右辺の極限が存在することが条件です。

例：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$

方法4：はさみうちの原理

$a$ の近くで $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ であり、$\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$ ならば、$\lim_{x \to a} f(x) = L$ です。

方法5：共役式の掛け算

根号を含む式の場合、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{1}{4}$

重要な基本極限

手法の比較

• 不定形を確認せずにロピタルの定理を適用する：この定理は $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ にのみ適用されます。$\frac{1}{0}$ などの形に使うと誤った答えになります。
• 極限の存在と関数値を混同する：$\lim_{x \to a} f(x)$ は $f(a)$ が未定義でも存在しうります。極限はその点での値ではなく、近傍の値に依存します。
• 片側極限を無視する：区分関数や不連続点では、常に左側と右側の極限を別々に確認してください。
• 不定形の演算で極限を誤って分配する：両方が $\infty$ のとき $\lim(f - g) \neq \lim f - \lim g$ です（$\infty - \infty$ になり、これは不定形です）。
• $\frac{\infty}{\infty}$ を 1 として扱う：$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形であり、任意の値になりえます。