Calculatrice d'équation linéaire

Une équation linéaire est une équation polynomiale du premier degré à une variable, prenant la forme générale :

$ax + b = 0$

où $a$ et $b$ sont des constantes, et $a \neq 0$. Le mot « linéaire » vient du fait que le graphe d'une telle équation est une droite.

Plus généralement, une équation linéaire à une variable peut apparaître sous la forme :

$ax + b = cx + d$

qui peut toujours être réarrangée en forme standard. La solution est la valeur de $x$ qui rend les deux côtés de l'équation égaux.

Les équations linéaires sont le fondement de l'algèbre et apparaissent partout dans la vie réelle — du calcul des coûts et distances à la conversion d'unités et à l'équilibrage de budgets. Elles ont toujours exactement une solution (en supposant $a \neq 0$), ce qui en fait le type d'équation le plus simple à résoudre.

Caractéristiques clés des équations linéaires :

• La variable $x$ apparaît uniquement à la première puissance (pas de $x^2$, $\sqrt{x}$, etc.)
• Le graphe est toujours une droite
• Il y a exactement une solution
• Elles peuvent toujours être résolues en un nombre fini d'étapes algébriques

Résoudre une équation linéaire signifie isoler la variable d'un côté. Voici les principales approches :

1. Méthode d'isolement de base

Pour les équations de la forme $ax + b = c$ :

1. Soustraire $b$ des deux côtés : $ax = c - b$
2. Diviser les deux côtés par $a$ : $x = \frac{c - b}{a}$

Exemple : Résoudre $3x + 7 = 22$

• $3x = 22 - 7 = 15$
• $x = \frac{15}{3} = 5$

2. Variables des deux côtés

Pour les équations comme $ax + b = cx + d$ :

1. Déplacer tous les termes en variable d'un côté : $(a - c)x + b = d$
2. Déplacer les constantes de l'autre côté : $(a - c)x = d - b$
3. Diviser : $x = \frac{d - b}{a - c}$

Exemple : Résoudre $4x - 3 = 2x + 9$

• $4x - 2x = 9 + 3$
• $2x = 12$
• $x = 6$

3. Équations avec parenthèses

Distribuer d'abord, puis regrouper les termes semblables :

Exemple : Résoudre $5(x - 2) = 3x + 4$

• $5x - 10 = 3x + 4$
• $2x = 14$
• $x = 7$

4. Équations avec fractions

Multiplier les deux côtés par le PPCM des dénominateurs pour éliminer les fractions :

Exemple : Résoudre $\frac{x}{3} + 2 = 7$

• Multiplier par 3 : $x + 6 = 21$
• $x = 15$

• Oublier d'appliquer les opérations aux deux côtés : tout ce que vous faites à un côté, vous devez le faire à l'autre.
• Erreurs de signe en déplaçant des termes : en déplaçant $+5$ de l'autre côté, il devient $-5$, et non $+5$.
• Ne pas distribuer correctement : $3(x - 4) = 3x - 12$, et non $3x - 4$.
• Diviser par zéro : si vous obtenez $0x = 5$, l'équation n'a aucune solution ; si $0x = 0$, elle en a une infinité.
• Oublier de simplifier les fractions : réduisez toujours votre réponse finale à sa forme irréductible.