Solveur d'équations

Une équation est un énoncé mathématique affirmant que deux expressions sont égales, reliées par le signe $=$ :

$\text{left side} = \text{right side}$

Résoudre une équation signifie trouver toutes les valeurs de la ou des variables qui rendent l'énoncé vrai. Ces valeurs sont appelées solutions ou racines.

Les équations existent sous de nombreux types :

• Linéaire : $3x + 2 = 11$
• Du second degré : $x^2 - 4x + 3 = 0$
• Rationnelle : $\frac{x+1}{x-2} = 3$
• Irrationnelle : $\sqrt{2x+1} = x - 1$
• Exponentielle : $2^x = 32$
• Logarithmique : $\log_2(x) = 5$
• Valeur absolue : $|3x - 2| = 7$
• Trigonométrique : $\sin(x) = \frac{1}{2}$

Ce solveur polyvalent gère tous ces types et plus encore, en choisissant la méthode appropriée selon la structure de l'équation. Contrairement aux solveurs spécialisés (uniquement linéaire ou uniquement du second degré), cet outil identifie le type d'équation et applique automatiquement la meilleure stratégie.

1. Équations rationnelles

Multiplier les deux côtés par le PPCM des dénominateurs, résoudre le polynôme obtenu, puis vérifier les solutions étrangères (valeurs qui annulent un dénominateur).

Exemple : $\frac{x+1}{x-2} = 3$

1. Multiplier les deux côtés par $(x-2)$ : $x + 1 = 3(x-2)$
2. $x + 1 = 3x - 6$ → $-2x = -7$ → $x = \frac{7}{2}$
3. Vérifier : $x = \frac{7}{2} \neq 2$ ✓

2. Équations irrationnelles

Isoler le radical, puis élever au carré (ou à la puissance appropriée) les deux côtés. Toujours vérifier les solutions.

Exemple : $\sqrt{2x+1} = x - 1$

1. Élever au carré les deux côtés : $2x + 1 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$
2. Réarranger : $x^2 - 4x = 0$ → $x(x-4) = 0$ → $x = 0$ ou $x = 4$
3. Vérifier $x = 0$ : $\sqrt{1} = -1$ ? Non ! Étrangère.
4. Vérifier $x = 4$ : $\sqrt{9} = 3$ ✓

3. Équations exponentielles

Si les bases peuvent être identifiées, égaler les exposants. Sinon, prendre les logarithmes.

Exemple : $2^x = 32 = 2^5$ → $x = 5$

4. Équations avec valeur absolue

Séparer en deux cas : l'expression à l'intérieur égale $+c$ ou $-c$.

Exemple : $|3x - 2| = 7$

• Cas 1 : $3x - 2 = 7$ → $x = 3$
• Cas 2 : $3x - 2 = -7$ → $x = -\frac{5}{3}$

5. Équations logarithmiques

Convertir en forme exponentielle ou utiliser les propriétés des logarithmes pour combiner.

Exemple : $\log_2(x) = 5$ → $x = 2^5 = 32$

• Ne pas vérifier les solutions étrangères : élever les deux côtés au carré ou multiplier par des expressions variables peut introduire de fausses solutions. Reportez toujours dans l'équation d'origine.
• Oublier les restrictions de domaine : les logarithmes exigent des arguments positifs ; les racines carrées exigent des radicandes positifs ou nuls ; les fractions exigent des dénominateurs non nuls.
• Perdre des solutions avec la valeur absolue : $|x| = 5$ a DEUX solutions ($x = 5$ et $x = -5$). N'oubliez pas le cas négatif.
• Manipulation log/exponentielle incorrecte : $\log(a+b) \neq \log(a) + \log(b)$. Le log d'une somme n'est PAS la somme des logs.
• Diviser par une variable sans vérifier si elle est nulle : si vous divisez les deux côtés par $x$, vous pourriez perdre la solution $x = 0$.