Les inéquations expliquées : linéaires, composées, du second degré

Les inéquations ressemblent exactement aux équations jusqu'à ce que vous tombiez sur la règle qui vous réveille en pleine nuit : lorsque vous multipliez ou divisez par un nombre négatif, le sens de l'inéquation s'inverse. Ce guide parcourt les inéquations linéaires, composées et du second degré avec les schémas qui résolvent 95 % des devoirs.

La seule règle que tout le monde oublie

Pour les équations : chaque opération préserve l'égalité. $5 = 5$ implique $5 \cdot (-1) = 5 \cdot (-1)$ — les deux membres également négatés, l'égalité tient.

Pour les inéquations : multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif inverse le sens. $5 > 3$ est vrai, mais multipliez les deux par $-1$ et on obtient $-5 > -3$, ce qui est faux. L'énoncé corrigé est $-5 < -3$.

Cette seule règle est la source de la plupart des erreurs sur les inéquations. Gravez-la dans vos réflexes :

• Ajouter/soustraire quoi que ce soit → pas d'inversion.
• Multiplier/diviser par un positif → pas d'inversion.
• Multiplier/diviser par un négatif → inverser l'inéquation.

Inéquations linéaires

Résolvez-les comme vous résolvez les équations linéaires, en faisant attention aux inversions de signe.

Exemple 1 : $3x + 5 > 14$.

• Soustrayez 5 : $3x > 9$.
• Divisez par $3$ (positif, pas d'inversion) : $x > 3$.
• Ensemble solution : $(3, \infty)$ — la parenthèse ouverte signifie que $x = 3$ n'est pas inclus.

Exemple 2 (avec l'inversion) : $-2x + 7 \leq 1$.

• Soustrayez 7 : $-2x \leq -6$.
• Divisez par $-2$ (négatif — INVERSION) : $x \geq 3$.
• Ensemble solution : $[3, \infty)$ — crochet fermé à cause du $\leq$, incluant $3$.

Inéquations composées

Une inéquation « composée » relie deux inéquations simples par ET ou OU.

Le ET s'écrit souvent comme une chaîne unique : $-1 < 2x + 3 \leq 7$. Opérez sur les trois parties simultanément.

• Soustrayez 3 partout : $-4 < 2x \leq 4$.
• Divisez par 2 partout : $-2 < x \leq 2$.
• Solution : $(-2, 2]$.

Le OU reste sous forme de deux inéquations séparées. La solution est l'union des deux ensembles solution individuels :

$x < -3$ ou $x > 5$ → solution $(-\infty, -3) \cup (5, \infty)$.

Inéquations du second degré

Pour $x^2 + bx + c > 0$ (ou toute inéquation $\neq 0$) :

1. Trouvez les racines de $x^2 + bx + c = 0$.
2. Placez les racines sur la droite numérique — elles la divisent en intervalles.
3. Testez un point dans chaque intervalle pour voir si le trinôme y est positif ou négatif.
4. Choisissez les intervalles correspondant au sens de l'inéquation.

Exemple : $x^2 - 5x + 6 > 0$.

• Factorisez : $(x - 2)(x - 3) > 0$. Racines en $x = 2$ et $x = 3$.
• Testez les intervalles :
  • $x = 0$ : $(0-2)(0-3) = 6 > 0$ ✓
  • $x = 2.5$ : $(0.5)(-0.5) = -0.25 < 0$ ✗
  • $x = 4$ : $(2)(1) = 2 > 0$ ✓
• Solution : $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

Pour les inéquations $\leq$ ou $\geq$, incluez les racines (intervalles fermés) : $(-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

Représenter les solutions sur une droite numérique

• Cercle ouvert (○) sur une valeur non incluse ($<$ ou $>$).
• Cercle plein (●) sur une valeur incluse ($\leq$ ou $\geq$).
• Flèche s'étendant vers l'infini dans le sens de la solution.

Composée ET → segment entre deux cercles. Composée OU → deux demi-droites séparées allant vers l'extérieur.

Inéquations avec valeur absolue

$|x - a| < b$ se décompose en $-b < x - a < b$, c'est-à-dire $a - b < x < a + b$ — un intervalle borné.

$|x - a| > b$ se décompose en $x - a < -b$ OU $x - a > b$, c'est-à-dire $x < a - b$ OU $x > a + b$ — deux demi-droites allant vers l'extérieur.

Erreurs courantes

1. Oublier d'inverser en divisant par un négatif. La plus grande source de réponses fausses aux inéquations.
2. Inclure les bornes de façon incorrecte. $<$ contre $\leq$ a son importance — votre type de crochet en dépend.
3. Traiter le ET composé comme une égalité. $-2 < x < 5$ est un énoncé unique ; vous ne pouvez pas le scinder en « $x = -2$ ou $x = 5$ ».
4. Résoudre les inéquations du second degré comme des équations. Poser $x^2 - 4 > 0$ « égal à zéro » donne les racines $\pm 2$ ; la solution de l'inéquation n'est pas $\{-2, 2\}$ mais les intervalles entre/autour d'elles.

Essayez par vous-même

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Documentation associée :

• Glossaire : inéquation
• Glossaire : valeur absolue
• Calculatrice d'équations du second degré — à associer à la version inéquation