Solveur d'inéquations

Une inéquation est un énoncé mathématique qui compare deux expressions à l'aide de l'un des symboles :

• $<$ (strictement inférieur à)
• $>$ (strictement supérieur à)
• $\leq$ (inférieur ou égal à)
• $\geq$ (supérieur ou égal à)

Contrairement aux équations (qui demandent « quelles valeurs rendent les deux côtés égaux ? »), les inéquations demandent « quelles valeurs rendent un côté plus grand (ou plus petit) que l'autre ? »

Par exemple, l'inéquation :

$2x - 5 > 3$

demande : pour quelles valeurs de $x$ le terme $2x - 5$ est-il strictement supérieur à $3$ ?

La solution d'une inéquation est typiquement une plage de valeurs (un intervalle), et non un seul nombre. Les solutions sont souvent exprimées en notation d'intervalles :

• $(a, b)$ : toutes les valeurs strictement comprises entre $a$ et $b$
• $[a, b]$ : toutes les valeurs de $a$ à $b$, bornes incluses
• $(-\infty, a) \cup (b, \infty)$ : toutes les valeurs inférieures à $a$ ou supérieures à $b$

Les inéquations sont fondamentales en optimisation, dans les problèmes de contraintes et pour déterminer les domaines et images des fonctions.

1. Inéquations linéaires

Résoudre comme une équation linéaire, avec une règle critique : inverser le sens de l'inéquation lors de la multiplication ou division par un nombre négatif.

Exemple : Résoudre $2x - 5 > 3$

1. Ajouter 5 : $2x > 8$
2. Diviser par 2 : $x > 4$

Solution : $(4, \infty)$

Exemple avec inversion de signe : Résoudre $-3x + 6 \leq 12$

1. Soustraire 6 : $-3x \leq 6$
2. Diviser par $-3$ (inverser !) : $x \geq -2$

2. Inéquations du second degré

Résoudre d'abord l'équation correspondante, puis tester les intervalles.

Exemple : Résoudre $x^2 - 4x - 5 > 0$

1. Factoriser : $(x - 5)(x + 1) > 0$
2. Points critiques : $x = -1$ et $x = 5$
3. Tester les intervalles :
   • $x < -1$ : $(-)(-) = (+) > 0$ ✓
   • $-1 < x < 5$ : $(-)(+) = (-) < 0$ ✗
   • $x > 5$ : $(+)(+) = (+) > 0$ ✓

Solution : $(-\infty, -1) \cup (5, \infty)$

3. Inéquations rationnelles

Trouver où le numérateur et le dénominateur sont nuls (points critiques), puis tester le signe dans chaque intervalle. Ne multipliez jamais les deux côtés par une expression qui pourrait être négative.

4. Inéquations avec valeur absolue

• $|x| < a$ signifie $-a < x < a$
• $|x| > a$ signifie $x < -a$ ou $x > a$

5. Méthode du tableau de signes

Pour les inéquations polynomiales/rationnelles, construisez un tableau de signes montrant le signe de chaque facteur dans chaque intervalle.

• Oublier d'inverser le sens de l'inéquation : lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés par un nombre négatif, vous devez inverser le sens de l'inéquation.
• Inclure incorrectement les points critiques : pour les inéquations strictes ($<$, $>$), les points critiques ne sont PAS inclus. Pour $\leq$ ou $\geq$, ils le sont.
• Multiplier par une variable sans considérer son signe : si vous multipliez les deux côtés par $x$, vous devez considérer séparément les cas $x > 0$ et $x < 0$.
• Traiter incorrectement les inéquations composées : pour $a < f(x) < b$, résolvez les deux parties simultanément, pas indépendamment.
• Écrire la solution dans la mauvaise notation : utilisez les parenthèses pour les inéquations strictes et les crochets pour les inéquations larges.