Maîtriser les équations du second degré : un guide complet étape par étape

Les équations du second degré sont la porte d'entrée de l'arithmétique vers les mathématiques supérieures. Que vous révisiez pour un examen du lycée, repreniez l'algèbre après une longue pause ou essayiez simplement d'aider votre enfant avec ses devoirs ce soir, maîtriser les équations du second degré est l'une des compétences les plus rentables que vous puissiez développer. Ce guide parcourt les trois techniques de résolution standard, quand choisir chacune, et les pièges les plus courants, illustrés par des exemples résolus que vous pouvez vérifier dans notre calculatrice d'équations du second degré gratuite.

Qu'est-ce qu'une équation du second degré ?

Une équation du second degré est toute équation qui peut être réécrite sous la forme standard

$ax^2 + bx + c = 0$

où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes et $a \neq 0$. Le graphe est toujours une parabole : ouverte vers le haut quand $a > 0$, vers le bas quand $a < 0$. Les solutions (aussi appelées racines ou zéros) sont les valeurs de x où la parabole coupe l'axe des x.

Une équation du second degré peut avoir 0, 1 ou 2 solutions réelles. Le nombre est déterminé par le discriminant :

$\Delta = b^2 - 4ac$

$\Delta$	Solutions
$\Delta > 0$	Deux racines réelles distinctes
$\Delta = 0$	Une racine réelle double (une "racine double")
$\Delta < 0$	Deux racines complexes conjuguées

Méthode 1 : la formule quadratique

La formule quadratique fonctionne toujours, même quand les coefficients sont des fractions disgracieuses ou des irrationnels. Mémorisez-la une fois et vous avez un solveur garanti :

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Exemple résolu

Résolvez $2x^2 - 3x - 2 = 0$.

1. Identifiez $a = 2$, $b = -3$, $c = -2$.
2. Calculez le discriminant : $\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
3. Substituez dans la formule : $x = \frac{3 \pm 5}{4}$.
4. Deux racines : $x_1 = 2$ et $x_2 = -\frac{1}{2}$.

La formule sert aussi de vérification de la factorisation : si vous soupçonnez qu'une factorisation est fausse, substituez $a$, $b$, $c$ et comparez.

Méthode 2 : factorisation

Quand les coefficients sont de petits entiers, la factorisation est plus rapide et plus parlante. Cherchez deux nombres dont le produit vaut $ac$ et la somme vaut $b$ :

$ax^2 + bx + c = a(x - r_1)(x - r_2) = 0$

Exemple résolu

Résolvez $x^2 + 5x + 6 = 0$.

1. Trouvez deux nombres dont le produit vaut $6$ et la somme vaut $5$ : ce sont $2$ et $3$.
2. Factorisez : $(x + 2)(x + 3) = 0$.
3. Annulez chaque facteur : $x = -2$ ou $x = -3$.

Si aucune paire d'entiers ne fonctionne, la factorisation est le mauvais outil : passez à la formule quadratique.

Méthode 3 : complétion du carré

La complétion du carré est la plus lente des trois pour le calcul direct, mais conceptuellement la plus importante : c'est ainsi que la formule quadratique est démontrée, et elle réapparaît en analyse, dans les coniques et les intégrales gaussiennes.

La procédure pour les équations unitaires ($a = 1$) :

1. Déplacez la constante à droite : $x^2 + bx = -c$.
2. Ajoutez $(b/2)^2$ des deux côtés : $x^2 + bx + (b/2)^2 = (b/2)^2 - c$.
3. Le membre de gauche est maintenant $(x + b/2)^2$.
4. Prenez la racine carrée : $x + b/2 = \pm\sqrt{(b/2)^2 - c}$.
5. Résolvez pour $x$.

Pour $a \neq 1$, divisez d'abord tout par $a$.

Choisir une méthode

Situation	Meilleure méthode
Petits coefficients entiers	Factorisation
Besoin d'une réponse garantie	Formule quadratique
Besoin de la forme canonique / suite en analyse	Complétion du carré
Vérifier le travail d'autrui	Formule quadratique (vérification indépendante)

Erreurs courantes

• Oublier que $a \neq 0$ : avec $a = 0$ l'équation se réduit au premier degré ; la formule divise par $2a$ et explose.
• Erreurs de signe sur $-b$ : quand $b$ est négatif, $-b$ est positif. Mettez la substitution entre parenthèses avec soin.
• Omettre le $\pm$ : la formule donne deux solutions. En oublier une est l'erreur la plus courante dans les devoirs.
• Ne pas simplifier les radicaux : $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$, pas "environ 7,07". Les enseignants y tiennent.
• Mal diviser : tout le numérateur est divisé par $2a$, pas seulement la partie radicale.

Au-delà de la résolution : où apparaissent les équations du second degré

L'équation du second degré n'est pas un artefact de devoirs : elle apparaît dans toute la science :

• Mouvement d'un projectile : la position verticale est quadratique en temps, $y(t) = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$.
• Optimisation : les problèmes de maximum/minimum à une variable se ramènent souvent à une équation du second degré via l'analyse ou la complétion du carré.
• Mécanique quantique : les niveaux d'énergie de l'oscillateur harmonique reposent sur un potentiel quadratique.
• Finance : les équations d'intérêts composés et certaines formules d'évaluation d'options se ramènent à des équations du second degré.

Quand vous intériorisez les équations du second degré, vous ne réussissez pas seulement un chapitre : vous déverrouillez des dizaines de modèles en aval.

Essayez vous-même

Tapez n'importe quelle équation du second degré dans notre calculatrice d'équations du second degré gratuite et vous obtiendrez instantanément la même décomposition étape par étape montrée ci-dessus. Aucune inscription requise.

Pour des sujets connexes, voir aussi :

• Calculatrice de factorisation — quand la factorisation mérite un examen plus poussé
• Solveur de systèmes d'équations — quand les équations du second degré apparaissent par paires
• Solveur d'équations polynomiales — pour les degrés cubiques et supérieurs