Solveur de systèmes d'équations

Un système d'équations (aussi appelé équations simultanées) est un ensemble de deux équations ou plus avec les mêmes variables qui doivent toutes être satisfaites en même temps. La solution est l'ensemble des valeurs qui rend chaque équation vraie simultanément.

Un système de deux équations linéaires à deux inconnues a la forme :

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$

Géométriquement, chaque équation représente une droite dans le plan. La solution est le point où les droites se croisent.

Un système peut avoir :

• Une solution unique : les droites se croisent en exactement un point (système consistant et indépendant).
• Aucune solution : les droites sont parallèles (système inconsistant).
• Une infinité de solutions : les droites sont identiques (système consistant et dépendant).

Les systèmes d'équations apparaissent dans d'innombrables applications : problèmes de mélange, analyse de circuits, équilibre offre-demande, flux de trafic et optimisation. Les systèmes plus grands à 3+ variables apparaissent en ingénierie et en science des données.

1. Méthode de substitution

Résoudre une équation pour une variable, puis substituer dans l'autre équation.

Exemple : Résoudre $\begin{cases} x - y = 1 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases}$

1. De l'équation 1 : $x = y + 1$
2. Substituer dans l'équation 2 : $2(y + 1) + 3y = 7$
3. $2y + 2 + 3y = 7$ → $5y = 5$ → $y = 1$
4. Substituer en retour : $x = 1 + 1 = 2$

2. Méthode d'élimination

Additionner ou soustraire les équations pour éliminer une variable.

Exemple : Résoudre $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$

1. Multiplier l'équation 2 par 3 : $3x - 3y = 3$
2. Ajouter à l'équation 1 : $5x = 10$ → $x = 2$
3. Substituer en retour : $2 - y = 1$ → $y = 1$

3. Méthode matricielle (élimination de Gauss)

Écrire le système comme une matrice augmentée et la réduire par lignes :

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & | & 7 \\ 1 & -1 & | & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 1 & | & 1 \end{pmatrix}$

4. Règle de Cramer

Pour un système $2 \times 2$, si $D = a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$ :

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

5. Représentation graphique

Tracer chaque équation et identifier le point d'intersection.

• Substitution incorrecte : en substituant une expression, remplacez la variable partout où elle apparaît et utilisez des parenthèses.
• Multiplier seulement une partie d'une équation : en multipliant pour éliminer, chaque terme (y compris la constante) doit être multiplié.
• Perdre le suivi des signes : soyez particulièrement prudent avec les coefficients négatifs lors de l'élimination.
• Déclarer prématurément aucune solution : obtenir $0 = 0$ signifie une infinité de solutions (système dépendant), et non aucune solution. Seul $0 = c$ (où $c \neq 0$) signifie aucune solution.
• Oublier de trouver toutes les variables : après avoir trouvé une variable, substituez toujours en retour pour trouver les autres.