Resolvedor de ecuaciones

Una ecuación es un enunciado matemático que afirma que dos expresiones son iguales, conectadas por el signo $=$:

$\text{left side} = \text{right side}$

Resolver una ecuación significa hallar todos los valores de la(s) variable(s) que hacen verdadero el enunciado. Estos valores se llaman soluciones o raíces.

Las ecuaciones se presentan en muchos tipos:

• Lineal: $3x + 2 = 11$
• Cuadrática: $x^2 - 4x + 3 = 0$
• Racional: $\frac{x+1}{x-2} = 3$
• Radical: $\sqrt{2x+1} = x - 1$
• Exponencial: $2^x = 32$
• Logarítmica: $\log_2(x) = 5$
• Valor absoluto: $|3x - 2| = 7$
• Trigonométrica: $\sin(x) = \frac{1}{2}$

Este resolvedor de propósito general maneja todos estos tipos y más, eligiendo el método apropiado según la estructura de la ecuación. A diferencia de los resolvedores especializados (solo lineal o solo cuadrática), esta herramienta identifica el tipo de ecuación y aplica la mejor estrategia automáticamente.

1. Ecuaciones racionales

Multiplica ambos lados por el mínimo común denominador (MCD), resuelve el polinomio resultante y luego comprueba si hay soluciones extrañas (valores que anulan un denominador).

Ejemplo: $\frac{x+1}{x-2} = 3$

1. Multiplica ambos lados por $(x-2)$: $x + 1 = 3(x-2)$
2. $x + 1 = 3x - 6$ → $-2x = -7$ → $x = \frac{7}{2}$
3. Comprueba: $x = \frac{7}{2} \neq 2$ ✓

2. Ecuaciones radicales

Aísla el radical y luego eleva al cuadrado (o a la potencia adecuada) ambos lados. Verifica siempre las soluciones.

Ejemplo: $\sqrt{2x+1} = x - 1$

1. Eleva al cuadrado ambos lados: $2x + 1 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$
2. Reordena: $x^2 - 4x = 0$ → $x(x-4) = 0$ → $x = 0$ o $x = 4$
3. Comprueba $x = 0$: ¿$\sqrt{1} = -1$? ¡No! Extraña.
4. Comprueba $x = 4$: $\sqrt{9} = 3$ ✓

3. Ecuaciones exponenciales

Si se pueden igualar las bases, iguala los exponentes. En caso contrario, toma logaritmos.

Ejemplo: $2^x = 32 = 2^5$ → $x = 5$

4. Ecuaciones con valor absoluto

Divide en dos casos: la expresión interior es igual a $+c$ o a $-c$.

Ejemplo: $|3x - 2| = 7$

• Caso 1: $3x - 2 = 7$ → $x = 3$
• Caso 2: $3x - 2 = -7$ → $x = -\frac{5}{3}$

5. Ecuaciones logarítmicas

Convierte a forma exponencial o usa las propiedades de los logaritmos para combinar.

Ejemplo: $\log_2(x) = 5$ → $x = 2^5 = 32$

• No comprobar las soluciones extrañas: Elevar al cuadrado ambos lados o multiplicar por expresiones con variables puede introducir soluciones falsas. Sustituye siempre en la ecuación original.
• Olvidar las restricciones del dominio: Los logaritmos requieren argumentos positivos; las raíces cuadradas requieren radicandos no negativos; las fracciones requieren denominadores distintos de cero.
• Descartar soluciones con valor absoluto: $|x| = 5$ tiene DOS soluciones ($x = 5$ y $x = -5$). No olvides el caso negativo.
• Manipulación incorrecta de logaritmos/exponenciales: $\log(a+b) \neq \log(a) + \log(b)$. El logaritmo de una suma NO es la suma de logaritmos.
• Dividir entre una variable sin comprobar si es cero: Si divides ambos lados entre $x$, podrías perder la solución $x = 0$.