體積計算機

體積是立體圖形所圍出三維空間大小的度量。它回答了「這個物體佔據多少空間？」或「這個容器能裝多少？」這些問題。

體積以立方單位表示（例如 $\text{cm}^3$、$\text{m}^3$、$\text{ft}^3$）或容量單位（公升、加侖）。

為什麼體積很重要

• 工程：決定槽、管與容器的尺寸
• 醫學：計算劑量與器官大小
• 運輸：決定貨艙空間與包裝
• 烹飪：量取食材
• 建築：估算混凝土、碎石或填料

體積單位

常見三維圖形的體積公式

立方體

所有邊皆相等：

$V = s^3$

範例：邊長 $s = 5$ 的立方體體積為 $V = 5^3 = 125$ 立方單位。

球體

完美的圓形三維圖形：

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

範例：半徑 $r = 6$ 的球體體積為 $V = \frac{4}{3}\pi(6)^3 = \frac{4}{3}\pi(216) = 288\pi \approx 904.78$ 立方單位。

圓柱

圓柱本質上是一個圓拉伸到高度 $h$：

$V = \pi r^2 h$

這就是底面積（$\pi r^2$）乘以高（$h$）。

範例：$r = 3$、$h = 10$ 的圓柱體積為 $V = \pi(3)^2(10) = 90\pi \approx 282.74$ 立方單位。

圓錐

圓錐是同底同高圓柱的三分之一：

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

範例：$r = 4$、$h = 9$ 的圓錐體積為 $V = \frac{1}{3}\pi(4)^2(9) = \frac{1}{3}\pi(144) = 48\pi \approx 150.80$ 立方單位。

圖形之間的關係

• 圓錐恰為同底半徑同高圓柱體積的 $\frac{1}{3}$
• 球體的體積等於高度為 $4r$、底半徑為 $r$ 的圓錐體積（因為 $\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{1}{3}\pi r^2 (4r)$）
• 半球恰為包住它的圓柱的 $\frac{2}{3}$

• 混淆半徑與直徑 — 務必確認給的是半徑還是直徑。若給定直徑，使用體積公式前先除以 2。
• 圓錐與角錐忘記 $\frac{1}{3}$ 因子 — 圓錐的體積與圓柱不相同。$\frac{1}{3}$ 因子是用以反映漸縮。
• 用斜高而非垂直高 — 對於圓錐與角錐，公式要求鉛直（垂直）高，而非沿表面的斜高。
• 立方與平方錯誤 — 對於球體，半徑是三次方（$r^3$）；對於圓柱，半徑是平方（$r^2$）再乘以高。混淆這兩者會得到大錯特錯的答案。
• 單位換算錯誤 — 換算立方單位時，記得將線性換算因子立方。例如，$1\,\text{m}^3 = (100\,\text{cm})^3 = 1{,}000{,}000\,\text{cm}^3$，而非 $100\,\text{cm}^3$。