畢氏定理計算機

畢氏定理是歐氏幾何中關於直角三角形三邊之間的一個基本關係。它指出斜邊（直角所對的邊）的平方等於另外兩邊（股）的平方和。

$a^2 + b^2 = c^2$

其中：

• $a$ 與 $b$ 是兩股的長度
• $c$ 是斜邊（最長邊）的長度

求各邊

• 斜邊：$c = \sqrt{a^2 + b^2}$
• 股 $a$：$a = \sqrt{c^2 - b^2}$
• 股 $b$：$b = \sqrt{c^2 - a^2}$

歷史註記

以古希臘數學家畢達哥拉斯（約西元前 570–495 年）命名，此定理在一千多年前的巴比倫數學家就已知曉。它是數學中被證明最多次的定理之一，有數百種不同的證明。

畢氏三元數

畢氏三元數由滿足 $a^2 + b^2 = c^2$ 的三個正整數 $a$、$b$、$c$ 構成。常見例子：

• $(3, 4, 5)$
• $(5, 12, 13)$
• $(8, 15, 17)$
• $(7, 24, 25)$

逐步流程

1. 辨識直角並標記各邊：$a$、$b$（股）與 $c$（斜邊）
2. 判斷哪一邊未知
3. 代入已知值到 $a^2 + b^2 = c^2$
4. 求解未知邊
5. 化簡結果（精確或小數形式）

求斜邊

已知股 $a$ 與 $b$：

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

範例：若 $a = 6$ 且 $b = 8$，則 $c = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$。

求股

已知斜邊 $c$ 與一股 $a$：

$b = \sqrt{c^2 - a^2}$

範例：若 $c = 13$ 且 $a = 5$，則 $b = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$。

判斷三角形是否為直角

已知三邊，檢查是否 $a^2 + b^2 = c^2$（其中 $c$ 為最長邊）：

• 若 $a^2 + b^2 = c^2$：直角三角形
• 若 $a^2 + b^2 > c^2$：銳角三角形
• 若 $a^2 + b^2 < c^2$：鈍角三角形

與距離公式的關聯

兩點 $(x_1, y_1)$ 與 $(x_2, y_2)$ 之間的距離由畢氏定理推導而來：

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

常用公式

• 混淆斜邊與股 — 斜邊永遠是直角所對的最長邊。在公式中把它當成股會得到錯誤結果。
• 忘記開平方 — 計算出 $a^2 + b^2$ 後，必須取 $\sqrt{a^2 + b^2}$ 才能得到 $c$，而非保留為 $a^2 + b^2$。
• 相減方向錯誤 — 求股時，計算 $c^2 - a^2$，而非 $a^2 - c^2$（後者會使根號下為負數）。
• 對非直角三角形套用此定理 — 畢氏定理只適用於直角三角形。對於其他三角形，使用餘弦定理。
• 太早四捨五入 — 盡可能保留根號下的精確值，以維持精確度。