大多數學生在國中第一次接觸畢氏定理 $a^2 + b^2 = c^2$ ，隔年就忘了。但這一個方程式支撐著距離計算、GPS 三邊測量、向量長度、訊號強度，乃至整個歐幾里得幾何。本指南展示學生很少看到的實際應用。

定理本身

在任意一個直角三角形中，兩股為 $a$ 、 $b$ ，斜邊為 $c$ ：

$a^2 + b^2 = c^2$

斜邊永遠是直角所對的邊——也是最長的邊。如果你標錯了，每個答案都會出錯。

應用 1：梯子問題

一把 13 英尺的梯子靠在牆上，底部距牆 5 英尺。它能搆到多高？

設 $a = 5$ 、 $c = 13$ （梯子是斜邊）。
$5^2 + b^2 = 13^2 \Rightarrow 25 + b^2 = 169 \Rightarrow b^2 = 144 \Rightarrow b = 12$ 英尺。

這就是經典的 5-12-13 直角三角形。

兩點 $P_1 = (x_1, y_1)$ 與 $P_2 = (x_2, y_2)$ 構成一個直角三角形，水平股為 $|x_2 - x_1|$ ，鉛直股為 $|y_2 - y_1|$ 。斜邊就是它們之間的距離：

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

距離公式只是換了個樣子的畢氏定理。

加上一個 $z$ 座標，同樣的想法就延伸出去：

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

電玩遊戲、機器人學與物理模擬都是這樣量距離的。

二維向量 $\mathbf{v} = (a, b)$ 的長度是 $\|\mathbf{v}\| = \sqrt{a^2 + b^2}$ 。同一個定理，不同的記號。

一艘船向東航行 30 公里，再向北航行 40 公里。它離港口的直線距離是多少？
$\sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50$ 公里。就是經典的 3-4-5 直角三角形放大 10 倍。

在直角三角形中， $\sin\theta = b/c$ 且 $\cos\theta = a/c$ ，所以：

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1$

畢氏恆等式就是用三角語言寫出來的原始定理。

把你的三邊（或兩邊＋直角）輸入三角形求解器，就能即時驗證上面展示的每一步。

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