中點公式計算機

中點公式求兩個給定點正中間的點。它就是座標的平均：

二維形式 — 對於點 $(x_1, y_1)$ 與 $(x_2, y_2)$：

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

三維形式 — 對於點 $(x_1, y_1, z_1)$ 與 $(x_2, y_2, z_2)$：

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$

為什麼取平均有效：中點將線段以 $1:1$ 的比例分割，而線段上任意點的座標都是兩端點的加權平均。當權重相等（各為 $1/2$）時，便得到單純的算術平均。

中點公式在座標幾何中經常出現：從直徑求圓心、三角形的重心、平行四邊形、垂直平分線，以及任何涉及「正中間」的問題。

逐步說明

1. 辨識兩點 $(x_1, y_1)$ 與 $(x_2, y_2)$。
2. 取 x 座標的平均：$\frac{x_1 + x_2}{2}$。
3. 取 y 座標的平均：$\frac{y_1 + y_2}{2}$。
4. 組合成中點 $(M_x, M_y)$。

沒有減法、沒有平方、沒有根號——比距離公式簡單得多。

反問題：由中點求端點

若 $M = (M_x, M_y)$ 是 $(x_1, y_1)$ 與 $(x_2, y_2)$ 的中點，你可以解出任一端點：

$x_2 = 2 M_x - x_1, \quad y_2 = 2 M_y - y_1$

中點加倍，減去已知的端點。

推廣：分點公式

對於以 $m : n$（不只是 $1:1$）分割線段的點：

$P = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}\right)$

中點公式是 $m = n = 1$ 的特例。

幾何應用

• 由直徑端點求圓心：就是中點。
• 三角形的重心：所有三個頂點座標的平均（將中點推廣到 3 個點）。
• 垂直平分線：通過中點且垂直於原線段的直線。
• 平行四邊形的對角線：兩條對角線的中點重合——這對證明四邊形是平行四邊形很有用。

• 相減而非相加：中點是取平均——$\frac{x_1 + x_2}{2}$，而非 $\frac{x_2 - x_1}{2}$。相減屬於距離公式。
• 忘記每個座標都要除：除數 2 分別套用於 x 之和與 y 之和。它不是最後做一次除法。
• 負座標的正負號錯誤：$\frac{-3 + 7}{2} = 2$，而非 $-2$ 或 $5$。仔細相加。
• 混淆中點與斜率公式：中點取平均，斜率相減。它們看起來相似，但回答不同的問題。
• 忘記為三維更新：若你的問題是三維，要包含 z 的平均。若是二維，不要加上多餘的 z。