距離公式計算機

距離公式計算座標空間中兩點之間的直線距離。它是將畢氏定理套用於兩點之間水平與鉛直分隔所構成的直角三角形之直接結果。

二維形式 — 對於點 $P_1 = (x_1, y_1)$ 與 $P_2 = (x_2, y_2)$：

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

三維形式 — 對於點 $(x_1, y_1, z_1)$ 與 $(x_2, y_2, z_2)$：

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

$n$ 維形式（歐氏距離）：

$d = \sqrt{\sum_{i=1}^n (b_i - a_i)^2}$

這自然地推廣到任意維度，這也是為什麼它是物理、統計與機器學習中最常用的「距離」概念。

逐步說明

1. 標記兩點 $(x_1, y_1)$ 與 $(x_2, y_2)$。任一指定方式皆可——公式具對稱性。
2. 計算差值：$\Delta x = x_2 - x_1$，$\Delta y = y_2 - y_1$。
3. 平方：$(\Delta x)^2$ 與 $(\Delta y)^2$。
4. 相加：$(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$。
5. 開平方：$d = \sqrt{\text{sum}}$。
6. 盡可能化簡根號（例如 $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$）。

幾何推導

從 $(x_1, y_1)$ 到 $(x_2, y_1)$ 畫一條水平線段——長度為 $|x_2 - x_1|$。
從 $(x_2, y_1)$ 到 $(x_2, y_2)$ 畫一條鉛直線段——長度為 $|y_2 - y_1|$。
原始線段是以這兩條為股的直角三角形的斜邊，所以由畢氏定理：

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

開平方即得距離公式。因為平方會去掉正負號，所以不需要絕對值。

相關公式

• 中點：$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ — 座標的平均。
• 斜率：$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ — 使用與距離公式相同的差值。
• 點到原點的距離：$d = \sqrt{x^2 + y^2}$（$(x_1, y_1) = (0, 0)$ 的特例）。

曼哈頓／計程車距離（供比較）

注意上述公式是歐氏距離。曼哈頓距離 $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$ 衡量在格線上的移動（不走對角線）。它們是不同的度量——務必確認你的問題要哪一種。

• 忘記平方：$d \ne (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)$。平方（與開平方）不可或缺。
• 正負號錯誤：$(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$，所以相減順序無關緊要——但這只因為有平方。不要因為「看到」差值就省略平方。
• 忘記開平方：$(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ 是 $d^2$，而非 $d$。許多學生提早一步停下。
• 未化簡根號：$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。寫成 $\sqrt{8}$ 技術上正確，但考試通常會扣分。
• 混用二維與三維：若你的問題是三維，要包含 $(z_2 - z_1)^2$ 項。若是二維，不要憑空加上 $z$ 項。