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級數計算機

以逐步解題分析斂散性、計算和，並展開泰勒／馬克勞林級數

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∑Math Input
sum of 1/n^2 from n=1 to infinity
does sum of (-1)^n / n converge?
Taylor series of sin(x) at x = 0
sum of (2/3)^n from n=0 to infinity

什麼是級數？

級數是一個數列各項的和。無窮級數具有以下形式：

∑n=1∞an=a1+a2+a3+⋯\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots

部分和為 SN=∑n=1NanS_N = \sum_{n=1}^{N} a_n。若部分和的數列收斂到有限極限 SS，則稱級數收斂且 ∑n=1∞an=S\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S。否則，級數發散。

幾何級數：級數 ∑n=0∞arn\sum_{n=0}^{\infty} ar^n 在 ∣r∣<1|r| < 1 時收斂到 a1−r\frac{a}{1-r}。

p 級數：級數 ∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} 在 p>1p > 1 時收斂，在 p≤1p \leq 1 時發散。

冪級數：形式為 ∑n=0∞cn(x−a)n\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n 的級數，在其收斂半徑內代表一個函數。

泰勒級數：f(x)f(x) 在 x=ax = a 處的冪級數展開：

f(x)=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

當 a=0a = 0 時，這稱為馬克勞林級數。

如何判別斂散性

發散判別法（第 n 項判別法）

若 lim⁡n→∞an≠0\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0，則級數發散。注意：若極限為 0，此判別法無法定論。

比值判別法

計算 L=lim⁡n→∞∣an+1an∣L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|：

  • 若 L<1L < 1：絕對收斂
  • 若 L>1L > 1：發散
  • 若 L=1L = 1：無法定論

根值判別法

計算 L=lim⁡n→∞∣an∣nL = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}。結論規則與比值判別法相同。

積分判別法

若 f(n)=anf(n) = a_n，其中 ff 對 x≥1x \geq 1 為正、連續且遞減：
∑n=1∞an 收斂  ⟺  ∫1∞f(x) dx 收斂\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ 收斂} \iff \int_1^{\infty} f(x)\,dx \text{ 收斂}

比較判別法

若對所有 nn 都有 0≤an≤bn0 \leq a_n \leq b_n：

  • 若 ∑bn\sum b_n 收斂，則 ∑an\sum a_n 收斂
  • 若 ∑an\sum a_n 發散，則 ∑bn\sum b_n 發散

交錯級數判別法（萊布尼茲判別法）

交錯級數 ∑(−1)nbn\sum (-1)^n b_n 收斂的條件為：

  1. 對所有 nn 都有 bn>0b_n > 0
  2. bnb_n 遞減
  3. lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0

常見的泰勒／馬克勞林級數

函數馬克勞林級數半徑
exe^x∑n=0∞xnn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}∞\infty
sin⁡x\sin x∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}∞\infty
cos⁡x\cos x∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}∞\infty
11−x\frac{1}{1-x}∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty} x^n11
ln⁡(1+x)\ln(1+x)∑n=1∞(−1)n+1xnn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}11

選擇正確的判別法

判別法最適用於關鍵特徵
發散快速排除各項明顯不趨近 0
比值階乘、指數項中含 n!n! 或 rnr^n
根值n 次方an=[f(n)]na_n = [f(n)]^n
積分簡單的遞減函數an=f(n)a_n = f(n) 易於積分
比較各項類似已知級數形似 p 級數或幾何級數
交錯正負交錯的級數含 (−1)n(-1)^n 因子

應避免的常見錯誤

  • 誤用發散判別法：若 lim⁡an=0\lim a_n = 0，這並不證明收斂。調和級數 ∑1/n\sum 1/n 即使 1/n→01/n \to 0 仍發散。
  • L = 1 時套用比值判別法：當比值極限等於 1 時，此判別法不提供任何資訊。你必須改用其他判別法。
  • 混淆絕對收斂與條件收斂：級數可以條件收斂（如交錯調和級數）而不絕對收斂。
  • 收斂半徑錯誤：求收斂區間時，別忘記分別檢查端點。
  • 泰勒級數餘項：泰勒多項式只是近似；對於有限項，存在一個餘項，其界限對精確度很重要。

Examples

Step 1: 套用比值判別法：an+1an=(n+1)/2n+1n/2n=n+12n\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2n}
Step 2: L=lim⁡n→∞n+12n=12<1L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} < 1，所以級數收斂
Step 3: 要求和，使用公式 ∑n=1∞nxn=x(1−x)2\sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}，x=12x = \frac{1}{2}：1/2(1/2)2=2\frac{1/2}{(1/2)^2} = 2
Answer: 22

Step 1: 從幾何級數開始：11−t=∑n=0∞tn\frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n，當 ∣t∣<1|t| < 1
Step 2: 代入 t=−x2t = -x^2：11+x2=11−(−x2)=∑n=0∞(−x2)n\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n
Step 3: 化簡：∑n=0∞(−1)nx2n=1−x2+x4−x6+⋯\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots，當 ∣x∣<1|x| < 1
Answer: ∑n=0∞(−1)nx2n\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}，當 ∣x∣<1|x| < 1 時有效

Step 1: 這是交錯級數，bn=1nb_n = \frac{1}{\sqrt{n}}
Step 2: 檢查：bn>0b_n > 0 ✓，bnb_n 遞減 ✓，lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0 ✓
Step 3: 根據交錯級數判別法，級數收斂（條件收斂，因為 ∑1n\sum \frac{1}{\sqrt{n}} 作為 p=1/2<1p = 1/2 < 1 的 p 級數而發散）
Answer: 級數條件收斂

Frequently Asked Questions

若一個級數的部分和在你加上更多項時趨近一個有限數，則它收斂。若部分和無界增大或不斷振盪而不趨於一個值，則它發散。

泰勒級數用多項式來近似複雜函數，使其更容易計算、微分或積分。它們在物理、工程與數值分析中是近似特定點附近函數的基礎。

收斂半徑 R 是從冪級數中心算起、級數收斂的距離。對於 |x - a| < R 級數絕對收斂，對於 |x - a| > R 發散，而在 |x - a| = R 時你必須逐一檢查端點。

不收斂。調和級數，即從 n=1 到無窮的 1/n 之和，發散。即使各項趨近於零，它們減小得不夠快，使得和無法保持有限。這是一個經典例子，說明各項趨於零是收斂的必要而非充分條件。

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