微分方程式求解器

微分方程式（DE）是一個將函數與其導數關聯起來的方程式。常微分方程式（ODE）涉及單一變數的函數：

$F\left(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}\right) = 0$

DE 的階是出現的最高階導數。次數是最高階導數的次方（當方程式對導數而言為多項式時）。

一階 ODE：$y' = f(x, y)$

二階 ODE：$y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)$

解是在某區間上滿足方程式的函數 $y(x)$。通解含有任意常數（每階一個）。初值問題（IVP）指定如 $y(x_0) = y_0$ 的條件，以確定唯一的特解。

微分方程式描述現實世界的現象：人口成長、放射性衰變、彈簧-質量系統、電路、熱傳導與流體流動。

方法 1：分離變數法

對於 $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ 形式的方程式：

1. 分離：$\frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$
2. 兩邊積分：$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx$

範例：$\frac{dy}{dx} = 2xy$ → $\frac{dy}{y} = 2x\,dx$ → $\ln|y| = x^2 + C$ → $y = Ae^{x^2}$

方法 2：積分因子（一階線性）

對於 $y' + P(x)y = Q(x)$，乘以積分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}$：

$\frac{d}{dx}[\mu(x) \cdot y] = \mu(x) \cdot Q(x)$

然後兩邊積分求出 $y$。

範例：$y' + 2y = e^{-x}$。此處 $P(x) = 2$，所以 $\mu = e^{2x}$。相乘：$(e^{2x}y)' = e^{x}$。積分：$e^{2x}y = e^x + C$，所以 $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$。

方法 3：特徵方程式（常係數）

對於 $ay'' + by' + cy = 0$，求解特徵方程式 $ar^2 + br + c = 0$：

方法 4：待定係數法

對於 $ay'' + by' + cy = g(x)$，其中 $g(x)$ 為多項式、指數、正弦、餘弦或其組合：

1. 求齊次方程式的通解
2. 根據 $g(x)$ 猜測特解的形式
3. 代入並解出係數
4. 通解 = 齊次解 + 特解

方法 5：參數變換法

當已知齊次解 $y_1, y_2$ 時，求解 $y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)$ 的通用方法：

$y_p = -y_1 \int \frac{y_2 g}{W}\,dx + y_2 \int \frac{y_1 g}{W}\,dx$

其中 $W = y_1 y_2' - y_2 y_1'$ 為朗斯基行列式。

方法比較

• 忘記積分常數：分離變數法中，常數必須在解出 $y$ 之前就納入，因為它會影響最終解的形式。
• 積分因子錯誤：$y' + P(x)y = Q(x)$ 的積分因子為 $e^{\int P(x)\,dx}$。辨識 $P(x)$ 前，務必確保方程式為標準形式（$y'$ 的係數必須為 1）。
• 遺漏重根情況：當特徵方程式有重根 $r$ 時，第二個解為 $xe^{rx}$，而非再次 $e^{rx}$。
• 特解猜測錯誤：若你對 $y_p$ 的猜測已經是齊次方程式的解，則乘以 $x$（必要時乘以 $x^2$）以得到有效形式。
• 忽略初始條件：通解含有任意常數。只在求出完整通解後才套用初始條件。