斜截式計算機

雙變數一次方程式的斜截式為：

$y = mx + b$

其中：

• $m$ 是斜率——直線上升或下降的陡峭程度。斜率 $= \dfrac{\text{rise}}{\text{run}}$。
• $b$ 是 y 截距——直線穿過 y 軸處的 $y$ 值（即點 $(0, b)$）。

為什麼這個形式特別：它一眼即可讀出兩項幾何資訊——斜率與 y 截距——無需任何計算。相比之下，標準式 $Ax + By = C$ 將兩者都隱藏起來。

斜截式是作圖、比較平行／垂直關係，以及從描述寫出方程式時的首選工作形式。

情況 1：從標準式方程式

給定 $Ax + By = C$，解出 $y$：

$By = -Ax + C \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{A}{B}x + \frac{C}{B}$

所以 $m = -A/B$ 且 $b = C/B$。

情況 2：從兩點

給定 $(x_1, y_1)$ 與 $(x_2, y_2)$：

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

然後用其中一點解出 $b$：

$b = y_1 - m x_1$

情況 3：從斜率與一點

給定斜率 $m$ 與一點 $(x_0, y_0)$：

$b = y_0 - m x_0$

情況 4：從圖形

直接從直線穿過 y 軸處讀出 y 截距。選取另一個格點，計算 $\text{rise} / \text{run}$ 求出 $m$。

特殊情況

• 水平線 $y = c$：斜率 $m = 0$，y 截距 $b = c$。
• 垂直線 $x = c$：斜率無定義。無法寫成 $y = mx + b$。

平行線與垂直線

兩直線 $y = m_1 x + b_1$ 與 $y = m_2 x + b_2$：

• 平行的充要條件為 $m_1 = m_2$（斜率相同、截距不同）
• 垂直的充要條件為 $m_1 m_2 = -1$（斜率互為負倒數）

• 斜率正負號錯誤：$m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$。$y$ 相減的順序要與 $x$ 相同。只反轉其一而不反轉另一個會使正負號顛倒。
• 除以零：若 $x_1 = x_2$，直線為垂直——斜率無定義，不存在斜截式。
• 混淆 y 截距與 x 截距：$b$ 是 y 截距。x 截距由令 $y = 0$ 並解出 $x$ 求得。
• 忘記除以 $B$：將 $Ax + By = C$ 轉換為斜截式時，必須將每一項都除以 $B$，而不只是 $y$ 那一項。
• 垂直斜率錯誤：垂直表示 $m_1 m_2 = -1$，所以 $m_2 = -1/m_1$。只反轉正負號或只取倒數都不夠。