配方法計算機

配方法是一種代數技巧，將二次式 $ax^2 + bx + c$ 改寫為：

$a(x - h)^2 + k$

其中 $(h, k)$ 是拋物線的頂點。

為什麼這很重要：

• 一眼即可看出拋物線的頂點（最小值／最大值點）。
• 讓你不靠一元二次公式也能求解任意一元二次方程式。
• 它是推導一元二次公式的底層技巧。
• 在微積分中用於計算 $\int \frac{1}{x^2 + bx + c}\,dx$（化為反正切）。
• 對理解高斯積分以及物理學中許多主題不可或缺。

使它成立的核心恆等式：

$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2$

情況 1：首項係數為 1

對於 $x^2 + bx + c$：

1. 取 $b$ 的一半並平方：$(b/2)^2$。
2. 加上再減去這個量：$x^2 + bx + (b/2)^2 - (b/2)^2 + c$。
3. 將完全平方項分組：$(x + b/2)^2 + c - (b/2)^2$。

範例：$x^2 + 6x + 5$

• 6 的一半是 3，平方為 9。
• $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$

頂點式：$(x + 3)^2 - 4$，頂點在 $(-3, -4)$。

情況 2：首項係數不為 1

對於 $ax^2 + bx + c$，$a \neq 1$：

1. 從前兩項提出 $a$：$a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$。
2. 在括號內配方：$b/a$ 的一半是 $b/(2a)$，平方是 $b^2/(4a^2)$。
3. 在括號內加上再減去：$a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$。
4. 化簡：$a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$。

注意，當你「抵銷」所加上的項時，由於括號內乘上了 $a$，因此要乘以 $a$。

求解一元二次方程式

對於 $ax^2 + bx + c = 0$：

1. 配方得到 $a(x - h)^2 + k = 0$。
2. 孤立平方項：$(x - h)^2 = -k/a$。
3. 開平方：$x - h = \pm\sqrt{-k/a}$。
4. 求解：$x = h \pm \sqrt{-k/a}$。

這本質上就是一元二次公式以單一精簡式子所做的事。

• 忘記平衡：當你加上 $(b/2)^2$ 時，必須同時減去它，否則就改變了原算式。
• 係數處理錯誤：若 $a \neq 1$，配方前必須先從前兩項提出 $a$，分配回去時再將修正項乘以 $a$。
• $\pm$ 的正負號錯誤：開平方後，兩個分支都必須保留。漏掉 $\pm$ 會少一個解。
• $b$ 的一半 vs $b/2a$：當首項係數為 1 時，取 $b$ 的一半。當它不為 1 時，先提出再取新係數的一半。
• 忘記化簡常數：配方後，將剩餘的常數合併成單一的 $k$。