絕對值計算機

實數 $x$ 的絕對值寫作 $|x|$，是它在數線上與 $0$ 的距離：

$|x| = \begin{cases} x & \text{if } x \geq 0 \\ -x & \text{if } x < 0 \end{cases}$

重要性質：

• 對所有 $x$ 都有 $|x| \geq 0$，且等號成立的充要條件是 $x = 0$。
• $|xy| = |x||y|$（乘法性）。
• $|x + y| \leq |x| + |y|$（三角不等式）。
• $|x|^2 = x^2$，因此 $|x| = \sqrt{x^2}$。

幾何意義：$|a - b|$ 是數線上兩數 $a$ 與 $b$ 之間的距離。這正是為什麼絕對值不等式能簡潔地轉化為距離的描述。

絕對值可推廣到複數（$|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$）以及向量（歐氏範數），但這裡我們著重於大多數作業中使用的實數情況。

類型 1：絕對值方程式

$|f(x)| = c$，其中 $c$ 為常數。

• 若 $c < 0$：無解（絕對值永遠不會是負數）。
• 若 $c = 0$：求解 $f(x) = 0$。
• 若 $c > 0$：拆成兩種情況：$f(x) = c$ 或 $f(x) = -c$。分別求解，保留所有有效解。

範例：$|2x - 3| = 7$ 拆成 $2x - 3 = 7$ 或 $2x - 3 = -7$，得 $x = 5$ 或 $x = -2$。

類型 2：小於型不等式

$|f(x)| < c$（或 $\leq$），其中 $c > 0$。

等價於：$-c < f(x) < c$（複合不等式，AND）。

幾何意義：$f(x)$ 與 $0$ 的距離在 $c$ 以內。

範例：$|2x + 1| < 7$ 變為 $-7 < 2x + 1 < 7$，得 $-4 < x < 3$。

若 $c \leq 0$，則無解（或當 $c = 0$ 時僅有 $f(x) = 0$）。

類型 3：大於型不等式

$|f(x)| > c$（或 $\geq$），其中 $c \geq 0$。

等價於：$f(x) < -c$ 或 $f(x) > c$（析取，OR）。

範例：$|3x - 6| \geq 9$ 變為 $3x - 6 \leq -9$ 或 $3x - 6 \geq 9$，得 $x \leq -1$ 或 $x \geq 5$。

若 $c < 0$，則每個實數都滿足此不等式。

陷阱：兩邊皆有絕對值

$|f(x)| = |g(x)|$ 拆成 $f(x) = g(x)$ 或 $f(x) = -g(x)$。

驗證解

務必代回原始方程式。在某些情況下，平方或拆解可能引入增根。

• 漏掉負值情況：$|x| = 5$ 有兩個解，$x = 5$ 與 $x = -5$。初學者常常只寫出正的那個。
• AND 與 OR 用反：$|x| < c$ 用 AND（介於 $-c$ 與 $c$ 之間）；$|x| > c$ 用 OR（小於 $-c$ 或大於 $c$）。互換會得到錯誤答案。
• 忘記 $c$ 必須為非負：$|f(x)| = -3$ 無解，因為恆有 $|f(x)| \geq 0$。
• 負值情況的正負號混淆：$|2x - 3| = 7$ 給出 $2x - 3 = -7$，而不是 $-(2x) - 3 = 7$。是把整個算式取負後等於 $-c$。
• 遺漏增根：求解後務必代回原始方程式。若絕對值結構依賴於 $f(x)$ 為非負，請加以檢查。