機率計算機

機率衡量一個事件發生的可能性。它以 $0$ 到 $1$ 之間的數表示（或等價地，$0\%$ 到 $100\%$）。

$P(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}$

關鍵概念

• 樣本空間 $S$：所有可能結果的集合
• 事件 $A$：樣本空間的子集
• 餘事件 $A'$：事件 $A$ 不發生的事件；$P(A') = 1 - P(A)$

機率的類型

• 理論機率：基於對等可能結果的推理（例如公正硬幣有 $P(\text{heads}) = \frac{1}{2}$）
• 實驗機率：基於實驗中觀測到的頻率
• 主觀機率：基於個人判斷或專業

機率法則

• 對任意事件 $A$ 都有 $0 \le P(A) \le 1$
• $P(S) = 1$（必有某事發生）
• $P(\emptyset) = 0$（不可能事件）

基本機率

對於等可能結果：

$P(A) = \frac{|A|}{|S|} = \frac{\text{favorable outcomes}}{\text{total outcomes}}$

加法法則（OR）

對於事件 $A$ 或事件 $B$ 發生的機率：

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

若 $A$ 與 $B$ 互斥（無法同時發生）：

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

乘法法則（AND）

對於事件 $A$ 與事件 $B$ 同時發生的機率：

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

若 $A$ 與 $B$ 獨立：

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

條件機率

在 $B$ 已發生的條件下 $A$ 的機率：

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

二項機率

在 $n$ 次獨立試驗中（每次成功機率為 $p$）恰有 $k$ 次成功的機率：

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

其中 $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

摘要表

• 在事件並非獨立時假設其獨立 — 不放回抽牌會在每次抽取後改變機率。
• 加法法則忘記減去重疊 — 當事件可同時發生時，必須減去 $P(A \cap B)$ 以避免重複計算。
• 混淆「與」和「或」 — 「與」表示兩事件都發生（獨立事件機率相乘）；「或」表示至少一個發生（機率相加）。
• 未考慮樣本空間中所有可能結果 — 務必正確計算總數，尤其涉及組合與排列時。
• 條件機率方向混淆 — $P(A|B)$ 與 $P(B|A)$ 不同。