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三重積分計算機

以 AI 驅動的逐步解題，計算直角、圓柱或球面座標下的三重積分
triple integral of xyz over [0,1]x[0,1]x[0,1]
triple integral of x^2+y^2+z^2 in spherical coords over unit ball
triple integral of z over cylinder x^2+y^2<=1, 0<=z<=2
triple integral of 1 over tetrahedron bounded by x+y+z=1 and axes

什麼是三重積分？

三重積分將單一積分與二重積分的概念推廣到三維。對於定義在立體區域 E⊂R3E \subset \mathbb{R}^3 上的函數 f(x,y,z)f(x, y, z)：

∭Ef(x,y,z) dV\iiint_E f(x,y,z)\,dV

給出 ff 在 EE 上的總累積。無窮小體積元素 dVdV 在直角座標中為 dx dy dzdx\,dy\,dz，但可依 EE 的幾何形狀改寫。

常見的物理意義：

  • 若 f(x,y,z)=1f(x,y,z) = 1，積分給出 EE 的體積。
  • 若 f(x,y,z)=ρ(x,y,z)f(x,y,z) = \rho(x,y,z) 是密度，它給出總質量。
  • 矩、質心與慣性矩都是加權密度函數的三重積分。

計算三重積分的關鍵是選擇正確的座標系並正確設定邊界。

如何設定並計算三重積分

步驟 1：選擇座標

區域幾何最佳座標體積元素
方塊／一般直角座標 (x,y,z)(x,y,z)dx dy dzdx\,dy\,dz
圓柱對稱圓柱座標 (r,θ,z)(r, \theta, z)r dr dθ dzr\,dr\,d\theta\,dz
球面對稱球面座標 (ρ,φ,θ)(\rho, \varphi, \theta)ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

步驟 2：設定邊界

將區域投影到某個座標平面以決定積分順序。對於上方以 z=g2(x,y)z = g_2(x,y)、下方以 z=g1(x,y)z = g_1(x,y) 界定的第一型立體：

∭Ef dV=∬D[∫g1(x,y)g2(x,y)f(x,y,z) dz]dA\iiint_E f \, dV = \iint_D \left[\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right] dA

步驟 3：逐次計算

先積分最內層，將外層變數視為常數。再向外進行。

圓柱座標

使用代換 x=rcos⁡θx = r\cos\theta、y=rsin⁡θy = r\sin\theta、z=zz = z：

∭Ef(x,y,z) dV=∭Ef(rcos⁡θ,rsin⁡θ,z)⋅r dr dθ dz\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iiint_E f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \cdot r\,dr\,d\theta\,dz

額外的因子 rr 來自雅可比行列式。

球面座標

使用 x=ρsin⁡φcos⁡θx = \rho\sin\varphi\cos\theta、y=ρsin⁡φsin⁡θy = \rho\sin\varphi\sin\theta、z=ρcos⁡φz = \rho\cos\varphi：

∭Ef dV=∭Ef⋅ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\iiint_E f\,dV = \iiint_E f \cdot \rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

雅可比 ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi 至關重要——忘記它是最常見的單一錯誤。

應避免的常見錯誤

  • 忘記雅可比：圓柱座標多出因子 rr，球面座標多出 ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi。略去它每次都會得到錯誤答案。
  • 邊界順序錯誤：最內層邊界可能依賴外層變數，但最外層邊界必須為常數。顛倒此規則會產生荒謬結果。
  • sin⁡φ\sin\varphi 的正負號錯誤：在球面座標中，φ∈[0,π]\varphi \in [0, \pi]（所以 sin⁡φ≥0\sin\varphi \geq 0）。使用 φ∈[0,2π]\varphi \in [0, 2\pi] 是錯的。
  • 混用慣例：有些書用 φ\varphi 表示極角（從 z 軸量起），其他用於方位角。請統一使用一種慣例。
  • 未畫出區域：對於非平凡的立體，快速作圖可避免你設定出不可能的邊界。

Examples

Step 1: 設定逐次積分：∫01∫01∫01xyz dz dy dx\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 xyz \, dz\, dy\, dx
Step 2: 對 zz 積分：∫01xyz dz=xyz22∣01=xy2\int_0^1 xyz \, dz = \frac{xy z^2}{2}\big|_0^1 = \frac{xy}{2}
Step 3: 對 yy 積分：∫01xy2 dy=xy24∣01=x4\int_0^1 \frac{xy}{2} \, dy = \frac{x y^2}{4}\big|_0^1 = \frac{x}{4}
Step 4: 對 xx 積分：∫01x4 dx=x28∣01=18\int_0^1 \frac{x}{4} \, dx = \frac{x^2}{8}\big|_0^1 = \frac{1}{8}
Answer: 18\dfrac{1}{8}

Step 1: 球面座標：0≤ρ≤10 \leq \rho \leq 1，0≤φ≤π0 \leq \varphi \leq \pi，0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi
Step 2: 體積 = ∫02π∫0π∫01ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^2 \sin\varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta
Step 3: 內層：∫01ρ2 dρ=13\int_0^1 \rho^2 \, d\rho = \frac{1}{3}
Step 4: 中層：∫0πsin⁡φ dφ=2\int_0^\pi \sin\varphi \, d\varphi = 2
Step 5: 外層：∫02πdθ=2π\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi
Step 6: 乘積：13⋅2⋅2π=4π3\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}
Answer: 4π3\dfrac{4\pi}{3}

Step 1: 改用圓柱座標：0≤r≤10 \leq r \leq 1，0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi，0≤z≤20 \leq z \leq 2
Step 2: 積分 = ∫02π∫01∫02z⋅r dz dr dθ\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta
Step 3: 內層：∫02z dz=2\int_0^2 z \, dz = 2
Step 4: 中層：∫012r dr=1\int_0^1 2r \, dr = 1
Step 5: 外層：∫02π1 dθ=2π\int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi
Answer: 2π2\pi

Frequently Asked Questions

當區域繞 z 軸具有旋轉對稱性但無特殊徑向結構時（圓柱、拋物面、圓盤上下方的圓錐），使用圓柱座標。當區域以球面、由原點出發的圓錐為界，或具有完整的三維徑向對稱性時（球、球殼），使用球面座標。

雅可比是變更座標時調整體積元素的行列式。在圓柱座標中等於 r，在球面座標中等於 ρ² sin φ。沒有它，積分量到的會是錯誤的體積。

觀察區域：先積分邊界依賴於其他變數的那個變數（最內層），再向外進行。最外層變數必須有常數邊界。若某種順序導致醜陋的邊界，借助區域草圖交換順序。

可以，若被積函數可以為負。對於體積計算，被積函數為 1，答案總是正的。對於像帶號通量或淨力等物理量，負值是可能且有意義的。

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