偏導數計算機

偏導數衡量多變數函數在固定其他變數的情況下，對某一變數的變化情形。對於 $f(x, y)$：

$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$

記號 $\partial$（彎曲的 d）將偏導數與普通導數 $\frac{d}{dx}$ 區分開來。等價記號包括 $f_x$、$\partial_x f$、$D_x f$。

幾何意義：$\frac{\partial f}{\partial x}(a, b)$ 是曲面 $z = f(x,y)$ 在 $(a,b)$ 處沿 $x$ 方向的斜率——切線位於平面 $y = b$ 中。

為什麼這很重要：梯度下降、最佳化、誤差傳播以及大部分的向量微積分都建立在偏導數之上。梯度 $\nabla f = (f_x, f_y, f_z)$ 指向最陡上升的方向。

規則 1：將其他變數視為常數

要求 $\frac{\partial f}{\partial x}$，將 $y, z, \ldots$ 視為常數，並把 $f$ 當成 $x$ 的單變數函數來微分。

範例：$f(x, y) = x^2 y + 3y$

• $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$（$3y$ 消失，因為它不含 $x$）
• $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3$（$x^2$ 充當係數）

規則 2：連鎖律與乘積法則仍適用

對於 $f(x, y) = \sin(xy)$：

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos(xy) \cdot y$

對 $xy$ 關於 $x$ 微分時，括號內的 $y$ 被視為常數係數。

高階偏導數

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$

克萊羅定理（混合偏導數）：若 $f$ 有連續的二階偏導數，則 $f_{xy} = f_{yx}$。微分次序無關緊要。

梯度與方向導數

梯度是所有一階偏導數的向量：

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$

沿方向 $\mathbf{u}$（單位向量）的方向導數為：

$D_\mathbf{u} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$

當 $\mathbf{u}$ 沿 $\nabla f$ 方向時為最大——這就是最陡上升的方向。

連鎖律（多變數）

若 $z = f(x, y)$ 且 $x = x(t), y = y(t)$：

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

• 對錯誤的變數微分：務必辨識哪個變數是「活動的」、哪些保持為常數。在草稿中將活動變數畫底線有助於釐清。
• 忘記連鎖律：$\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = y\cos(xy)$，而非僅 $\cos(xy)$。
• 記號混淆：$f_{xy}$ 表示先對 $x$ 微分、再對 $y$（有些書相反——請查閱所用慣例）。
• 梯度方向錯誤：$\nabla f$ 指向最陡上升的方向，而非運動方向。要極小化，應沿 $\nabla f$ 的反方向移動。
• 混淆偏導數與全導數：當 $x$ 與 $y$ 都依賴 $t$ 時，使用連鎖律——而非 $\partial f/\partial t$（若 $f$ 不顯含 $t$ 則為零）。