泰勒級數計算機

泰勒級數將函數表示為由函數在單一點 $a$ 的各階導數所構成的無窮多項式：

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

當 $a = 0$ 時，此級數稱為馬克勞林級數：

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

為什麼這很重要：泰勒級數把對可能很難的函數（$\sin x$、$e^x$、$\ln x$、$\sqrt{1 + x}$）的計算，轉換為對多項式的計算，而多項式是電腦與人都能處理的。它們是數值方法、漸近展開與近似理論的基礎。

$n$ 次泰勒多項式是保留到 $(x-a)^n$ 各項的部分和。在某種精確意義下，它是 $a$ 附近 $f$ 的最佳多項式近似（符合函數值與前 $n$ 階導數）。

步驟 1：計算在展開點的導數

對於 $f(x)$ 與展開點 $a$，計算 $f(a), f'(a), f''(a), \ldots, f^{(n)}(a)$。

步驟 2：代入公式

$T_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

需熟記的常見馬克勞林級數

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 1$

$\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad -1 < x \leq 1$

收斂半徑

泰勒級數只在 $a$ 周圍的收斂半徑 $R$ 內收斂。用比值判別法求之：

$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

在此半徑外，級數發散且不代表該函數。在半徑內，收斂通常在緊緻子集上是均勻的。

操作已知級數

為求快速，可代換、微分或積分已知級數，而非從頭計算導數：

• $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots$（將 $-x^2$ 代入 $e^x$）
• $\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}$

• 忘記階乘：第 $n$ 項有一個 $\frac{1}{n!}$，而非只有導數。略去它會得到大錯特錯的答案。
• 在收斂半徑外使用級數：當 $|x| > 1$ 時，$\frac{1}{1-x}$ 不等於 $\sum x^n$——級數在那裡發散。
• 忘記以 $a$ 為中心：以 $a$ 為中心的泰勒級數使用 $(x-a)$ 的次方，而非 $x$。
• 混淆次數與項數：$n$ 次泰勒多項式有 $n+1$ 項（次數 $0$ 到 $n$）。
• 代換的正負號錯誤：$\sin(-x) = -\sin(x)$，所以 $\sin(-x)$ 的級數相較於 $\sin(x)$ 各項正負號翻轉。