二重積分計算機

二重積分計算函數 $f(x, y)$ 在二維區域 $D$ 上的累積：

$\iint_D f(x,y)\,dA$

其中 $dA$ 是無窮小面積元素。在直角座標中 $dA = dx\,dy$；在極座標中 $dA = r\,dr\,d\theta$。

常見的物理意義：

• $f(x,y) = 1$ 給出 $D$ 的面積。
• $f(x,y) = h(x,y)$（高度函數）給出 $D$ 上方曲面 $z = h(x,y)$ 之下的體積。
• $f = \rho(x,y)$（面密度）給出薄板的質量。

關鍵技能是：選擇座標、設定邊界，並利用富比尼定理化為逐次的單一積分來計算。

富比尼定理

對於矩形 $D = [a, b] \times [c, d]$ 上的連續函數 $f$：

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy$

兩種順序皆可，因此選擇較易積分的那一種。

第一型與第二型區域

第一型（$y$ 受 $x$ 的曲線所界定）：

$D = \{(x,y) : a \leq x \leq b,\ g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx$

第二型（$x$ 受 $y$ 的曲線所界定）：

$D = \{(x,y) : c \leq y \leq d,\ h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy$

極座標

對於具有圓對稱性的區域，使用 $x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$、$dA = r\,dr\,d\theta$：

$\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$

來自雅可比行列式的因子 $r$ 是不可或缺的——忘記它是最常見的錯誤。

何時要交換積分順序

若某個內層積分變得難以處理（例如 $\int e^{x^2}\,dx$ 沒有初等反導函數），交換積分順序通常能讓問題可解。先畫出區域，以在另一種順序中找出等價的邊界。

• 邊界順序錯誤：內層邊界可能依賴外層變數，但外層邊界必須為常數。顛倒 = 錯誤答案。
• 忘記極座標雅可比：$dA = r\,dr\,d\theta$，而非 $dr\,d\theta$。
• 未畫出區域：對於非矩形的 $D$，作圖能讓第一型與第二型的判斷一目了然。
• 試圖積分不可能的內層函數：若遇到 $\int e^{x^2}\,dx$ 或類似的非初等被積函數，放棄前先交換順序。
• 負被積函數的正負號錯誤：若 $f$ 在 $D$ 上改變正負號，二重積分可能為零——這是正確的，並非要「修正」的錯誤。