不等式速查指南：一元一次、複合與絕對值

不等式出現在最佳化、工程公差，以及幾乎所有現實世界的限制問題中（「預算不得超過……」）。它的運算機制與解方程式類似，但有一個關鍵轉折：乘以或除以一個負數時，不等號方向會翻轉。本指南把你需要的每一步操作都集中到一頁裡。

一元一次不等式

把它們完全當成一次方程式來處理——除了：每當你把兩邊乘以或除以一個負數時，就翻轉不等號。

解 $-3x + 5 < 14$：

1. 兩邊減 5：$-3x < 9$。
2. 除以 $-3$ 並翻轉：$x > -3$。

解集是開區間 $(-3, \infty)$。

複合不等式

複合不等式用 and（交集）或 or（聯集）把兩個較簡單的不等式組合起來。

解 $-1 \le 2x - 3 < 5$（一個「and」的夾擊）：

1. 三個部分同時加 3：$2 \le 2x < 8$。
2. 除以 2：$1 \le x < 4$。

解：$[1, 4)$。

對於像 $x < -2$ or $x \ge 5$ 這種「or」不等式，解是兩段不相交的部分：$(-\infty, -2) \cup [5, \infty)$。

絕對值不等式

訣竅：$|A| < k$ 可改寫成 $-k < A < k$，而 $|A| > k$ 可改寫成 $A < -k$ 或 $A > k$。

解 $|2x - 1| \le 5$：

1. 改寫：$-5 \le 2x - 1 \le 5$。
2. 加 1：$-4 \le 2x \le 6$。
3. 除以 2：$-2 \le x \le 3$。解為 $[-2, 3]$。

一元二次不等式

把所有東西移到一邊，因式分解，再在每個區間上測試正負號。

解 $x^2 - x - 6 > 0$：

1. 因式分解：$(x - 3)(x + 2) > 0$。
2. 根把數線分成三個區間：$(-\infty, -2)$、$(-2, 3)$、$(3, \infty)$。
3. 從每個區間各取一點測試：在 $x = -3$ 時乘積為正；在 $x = 0$ 時為負；在 $x = 4$ 時為正。
4. 解：$(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$。

常見錯誤

• 除以負數時忘了翻轉——這是最大的單一錯誤。
• 搞混開區間與閉區間括號：$<$ 用小括號，$\le$ 用方括號。
• 盲目地把 $|A| < B$ 兩邊平方：只有當兩邊都非負時才成立。

用 AI 不等式求解器驗證

把任意不等式輸入不等式求解器，你就會看到完整的步驟清單——非常適合用來複查作業。

相關參考：

• 方程式求解器 ——同樣的代數，等式版本
• 絕對值求解器 ——適用於 $|A| = k$ 類型的問題
• 二次方程式求解器 ——與上面的二次情況成對