導數詳解：從定義到實際計算

微積分素有令人望而生畏的名聲，但導數背後的核心思想其實很簡單：某個東西變化得有多快？ 本指南從零開始建立導數——先作為一個幾何想法，再作為一個精確的定義，最後作為一套你可以機械套用的法則工具箱。讀完後，你應該能在紙上對任意多項式、指數或三角函數微分，並用我們的免費導數計算器驗證你的結果。

直觀來說，導數是什麼？

想像你在開車。儀表板上的時速表顯示你的瞬時速度——你的位置此刻變化得有多快。這正是導數所捕捉的：在某一瞬間，一個量相對於另一個量的變化率。

從幾何上看，$f(x)$ 在點 $x_0$ 處的導數，就是曲線 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 處切線的斜率。陡的斜率代表變化快；平的斜率代表變化慢；零斜率代表瞬間的峰、谷或停頓。

極限定義

正式的定義使用極限，因為我們要問的是：當兩點之間的間距縮小到零時，你會得到什麼斜率：

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

你從 $(x, f(x))$ 與 $(x+h, f(x+h))$ 之間割線的斜率出發，再把 $h$ 擠壓到趨近 $0$。這個極限（當它存在時）就是切線斜率。

用極限定義的解題範例

從基本原理求 $f(x) = x^2$ 的導數。

1. 計算 $f(x+h) = (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$。
2. 列出差商：$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h$。
3. 取 $h \to 0$ 的極限：$f'(x) = 2x$。

所以 $y = x^2$ 在任意 $x$ 處的斜率就是 $2x$——在 $x = 3$ 時斜率是 $6$，在 $x = -1$ 時斜率是 $-2$，在 $x = 0$ 時斜率是 $0$（拋物線的頂點）。

你實際會用到的四條法則

每個導數都用極限定義來做會累死人。於是數學家一勞永逸地證明了一小組法則；你只要機械地套用即可。

1. 冪法則

對任意實數指數 $n$：

$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$

範例：$\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4$、$\frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2}$、$\frac{d}{dx}(1/x) = \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -x^{-2}$。

2. 和、差與常數倍

$\frac{d}{dx}\bigl(c \cdot f(x) \pm g(x)\bigr) = c \cdot f'(x) \pm g'(x)$

微分是線性的：各項獨立處理，常數提到最前面。

3. 乘積律

$\frac{d}{dx}\bigl(f(x) g(x)\bigr) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)$

兩個函數相乘？輪流對每一個微分。

4. 連鎖律

連鎖律處理複合函數 $f(g(x))$：

$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

用文字說：對外層函數在內層函數處取值後微分，再乘以內層函數的導數。連鎖律是錯誤最多的來源——每次你看到一個函數套在另一個函數裡，就放慢腳步。

一個完整的解題範例

對 $h(x) = (3x^2 + 1)^4$ 微分。

1. 外層函數是 $u^4$（其中 $u = 3x^2 + 1$）。它對 $u$ 的導數是 $4u^3$。
2. 內層函數是 $3x^2 + 1$。它的導數是 $6x$。
3. 套用連鎖律：$h'(x) = 4(3x^2 + 1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 1)^3$。

如果你先去展開 $(3x^2 + 1)^4$，會白白燒掉五分鐘的代數；連鎖律三行就搞定。

值得背熟的常見導數

函數	導數
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\tan(x)$	$\sec^2(x)$
$e^x$	$e^x$
$\ln(x)$	$1/x$
$a^x$	$a^x \ln(a)$

這五個對任何理工科學生來說都沒有商量餘地——用字卡背就對了。

常見錯誤

• 忘了連鎖律：$\frac{d}{dx}\sin(2x) = 2\cos(2x)$，不是 $\cos(2x)$。
• 把常數當成變數：$\frac{d}{dx}(\pi^2) = 0$，不是 $2\pi$。$\pi$ 是一個數。
• 省略記號：當你之後需要代入數值時，卻寫 $f'$ 而不是 $f'(x)$——在最後一刻之前都要讓 $x$ 看得見。
• 括號放錯位置：$\frac{d}{dx}(\sin x)^2$ 與 $\frac{d}{dx}\sin(x^2)$ 是不同的函數。括號能救命。

接下來該往哪走

一旦你能順手做微分，自然的下一步是：

• 隱函數微分：對像 $x^2 + y^2 = 25$ 這種方程式微分，其中 $y$ 是 $x$ 的函數但沒有明確給出。
• 相關變化率：把導數應用到真實世界的變化率（梯子沿牆滑下、水注滿圓錐）。
• 最佳化：用導數找出函數的極大值與極小值。
• 積分：反向運算，從 $f'$ 還原 $f$——見我們的積分計算器。

自己動手試試

把任意函數輸入導數計算器，你就會得到上面展示的逐步推導。半夜想確認作業答案對不對？它是免費的，而且不用註冊。

想看更深入的相關內容，請見：

• 極限計算器 ——導數賴以建立的基礎
• 積分計算器 ——導數的逆運算
• 級數計算器 ——泰勒級數會用到各階導數