正弦余弦正切计算器

三个基本三角函数——正弦、余弦和正切——将角度与直角三角形边的比值联系起来：

$\sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}, \quad \tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

在单位圆（以原点为圆心、半径为 1 的圆）上，对从正 $x$ 轴逆时针测量的角 $\theta$：

• $\cos\theta$ = 圆上点的 $x$ 坐标
• $\sin\theta$ = 圆上点��� $y$ 坐标
• $\tan\theta$ = 终边的斜率

基本性质：

• $\sin$ 和 $\cos$ 的值域为 $[-1, 1]$，周期为 $2\pi$
• $\tan$ 的值域为 $(-\infty, \infty)$，周期为 $\pi$
• 当 $\cos\theta = 0$ 时（即 $\frac{\pi}{2} + n\pi$ 处）$\tan\theta$ 无定义

倒数函数为：
$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$

这六个函数构成三角学的基础，广泛应用于数学、物理、工程和信号处理。

方法一：单位圆（精确值）

记忆关键角度在单位圆上的坐标：

方���二：参考角

对超过第一象限的角：

1. 求参考角（到 $x$ 轴的锐角）
2. 由象限确定符号（ASTC 规则）

ASTC ��则——各象限内为正的函数：

• 第一��限（0° 到 90°）：全部为正
• 第二象限��90° 到 180°）：正弦为正
• 第三���限（180° �� 270°）：正切为正
• 第四象限（270° 到 360°）：余弦为正

例：$\sin(150°)$——参考角为 $180° - 150° = 30°$。第二象限正弦为正：$\sin(150°) = +\sin(30°) = \frac{1}{2}$。

方法三：和差公式

对非标准角，分解为已知角的和或差：

$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
$\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$
$\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

例：$\cos(75°) = \cos(45° + 30°) = \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

方法四：图像变换

对 $y = A\sin(Bx + C) + D$：

• $|A|$ = 振幅
• $\frac{2\pi}{|B|}$ = 周期
• $-\frac{C}{B}$ = 相位移动
• $D$ = 垂直平移

方法选择对比

• 象限符号错误：$\cos(120°) = -\frac{1}{2}$，不是 $+\frac{1}{2}$。务必检查象限决定的正负号。
• ��度与弧度混淆：$\sin(\pi) = 0$（弧度），但如果把 180 当作弧度，$\sin(180) \approx -0.80$。务必统一单位。
• 忘记 tan 的未定义点：$\tan(90°)$ 和 $\tan(270°)$ 无定义（垂直渐近线），不是零或无穷大。
• 误用和差公式：$\sin(A + B) \neq \sin A + \sin B$。必须使用正确的展开式。
• 参考角求错：参考角总是到 $x$ 轴（不是 $y$ 轴）的角，且总为正的锐角。