反三角函数计算器

反三角函数是基本三角函数的逆运算。给定一个比值，返回对应的角度：

$\arcsin(x) = \theta \iff \sin(\theta) = x$
$\arccos(x) = \theta \iff \cos(\theta) = x$
$\arctan(x) = \theta \iff \tan(\theta) = x$

由于三角函数不是一对一的，需要限制定义域来定义其逆函数：

其他记法：$\sin^{-1}(x)$、$\cos^{-1}(x)$、$\tan^{-1}(x)$（注意：$\sin^{-1}(x) \neq \frac{1}{\sin x}$）。

重要关系：

• $\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$，对所有 $x \in [-1, 1]$ 成立
• $\arctan(x) + \text{arccot}(x) = \frac{\pi}{2}$，对所有 $x$ 成立

反三角函数出现在积分（$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$）、几何、导航和物理学中。

方法一：利用已知值

对标准值，反向使用单位圆：

$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \quad \text{因为 } \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

常见精确值：

方法二：直角三角形法

计算复合表达式如 $\cos(\arcsin(\frac{3}{5}))$：

1. 令 $\theta = \arcsin(\frac{3}{5})$，则 $\sin\theta = \frac{3}{5}$
2. 画直角三角形：对边 $= 3$，斜边 $= 5$
3. 由勾股定理求邻边 $= \sqrt{25 - 9} = 4$
4. 因此 $\cos\theta = \frac{4}{5}$

方法三：代数恒等式

用于化简的恒等式：

$\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$
$\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$
$\tan(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\sin(\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$
$\cos(\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$

方法四：反三角函数的导数

在微积分中必不可少：

$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$

方法对比

• 混淆 $\sin^{-1}(x)$ 和 $\frac{1}{\sin x}$：$\sin^{-1}(x)$ 表示 arcsin，不是余割。使用时注意上下文，或优先使用 arc 记法。
• 忽略主值范围：$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$，不是 $\frac{11\pi}{6}$。答案必须在规定的值域 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 内。
• 错误使用对消律：$\sin(\arcsin x) = x$ 对 $x \in [-1,1]$ 成立，但 $\arcsin(\sin x) = x$ 仅当 $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 时成立。超出此范围需用参考角和适当符号。
• 定义域错误：$\arcsin(2)$ 和 $\arccos(-3)$ 在实数范围内无定义，因为其定义域为 $[-1, 1]$。
• 勾股定理步骤的符号错误：使用直角三角形法时，确保根据主值范围所暗示的象限取正确的正负号。