三角恒等式生存包

三角恒等式有几十个，但实际上你只需要记住十来个——其余的都能在几秒钟内从它们推导出来。本页就是这份生存包：每一个真正值得记的恒等式，都配有一个简短的解题示例。

勾股三件套

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

第一个是整个数学中使用频率最高的恒等式。另外两个是通过两边同除 $\cos^2$ 或 $\sin^2$ 得到的。

和差公式

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$

cos 的口诀："cos cos 减 sin sin"，符号相反——sin 是"sin cos 加 cos sin"，符号相同。

倍角公式

把 $\alpha = \beta = \theta$ 代入和公式：

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$
$\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1$
$\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

由于勾股恒等式，余弦版本存在三种形式。挑选与你表达式其余部分相匹配的那一种。

半角公式

把余弦倍角公式对 $\sin^2$ 和 $\cos^2$ 求解，得到：

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}, \quad \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$

这些是降幂恒等式——正是它们让 $\int \sin^2 x \, dx$ 变得初等可解。

解题示例：化简

化简 $\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)}$。

1. 分子：$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$。
2. 分母：$1 + \cos(2x) = 1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x$。
3. 商：$\frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$。

整个看起来杂乱的表达式坍缩为 $\tan x$。

常见错误

• 和公式中的符号错误——把公式完整写出来，不要在解题途中靠记忆。
• $\sin^2\theta$ 表示 $(\sin\theta)^2$，而不是 $\sin(\sin\theta)$。
• 忘记 $2\theta$ 是角度，而不是值的 2 倍——$\sin(2 \cdot 30°) = \sin 60°$，而不是 $2\sin 30°$。

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三角函数求解器接受任意表达式，并应用所有这些恒等式来化简或求解。

相关参考：

• 化简计算器 — 同样的化简思路，多项式版本
• 积分计算器 — 降幂对三角积分至关重要
• 级数计算器 — sin 和 cos 的泰勒展开直接用到这些