偏导数计算器

偏导数衡量多元函数在保持其他变量固定时，相对于某一个变量的变化率。对于 $f(x, y)$：

$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$

记号 $\partial$（弯曲的 d）把偏导数与普通导数 $\frac{d}{dx}$ 区分开。等价记号包括 $f_x$、$\partial_x f$、$D_x f$。

几何意义：$\frac{\partial f}{\partial x}(a, b)$ 是曲面 $z = f(x,y)$ 在 $(a,b)$ 处沿 $x$ 方向的斜率——切线位于平面 $y = b$ 内。

为什么重要：梯度下降、最优化、误差传播以及大部分向量微积分都建立在偏导数之上。梯度 $\nabla f = (f_x, f_y, f_z)$ 指向最陡上升方向。

规则 1：把其他变量当作常数

要求 $\frac{\partial f}{\partial x}$，把 $y, z, \ldots$ 当作常数，把 $f$ 当作 $x$ 的单变量函数来求导。

示例：$f(x, y) = x^2 y + 3y$

• $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$（$3y$ 不含 $x$ 故消失）
• $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3$（$x^2$ 充当系数）

规则 2：链式法则与乘积法则仍然适用

对于 $f(x, y) = \sin(xy)$：

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos(xy) \cdot y$

对 $xy$ 关于 $x$ 求导时，括号内的 $y$ 被当作常数系数。

高阶偏导数

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$

克莱罗定理（混合偏导数）：若 $f$ 具有连续的二阶偏导数，则 $f_{xy} = f_{yx}$。求导次序无关紧要。

梯度与方向导数

梯度是所有一阶偏导数构成的向量：

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$

沿方向 $\mathbf{u}$（单位向量）的方向导数为：

$D_\mathbf{u} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$

当 $\mathbf{u}$ 沿 $\nabla f$ 方向时取最大值——这是最陡上升方向。

链式法则（多元）

若 $z = f(x, y)$ 且 $x = x(t), y = y(t)$：

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

• 对错误的变量求导：始终先辨明哪个变量是「活动的」，哪些保持为常数。在草稿里给活动变量画下划线会有帮助。
• 忘记链式法则：$\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = y\cos(xy)$，而不仅是 $\cos(xy)$。
• 记号混淆：$f_{xy}$ 表示先对 $x$ 再对 $y$ 求导（有些书相反——查阅约定）。
• 梯度方向错误：$\nabla f$ 指向最陡上升方向，而非运动方向。要最小化，应沿 $\nabla f$ 的相反方向移动。
• 混淆偏导数与全导数：当 $x$ 和 $y$ 都依赖 $t$ 时，使用链式法则——而不是 $\partial f/\partial t$，若 $f$ 不显含 $t$ 则它为零。