反常积分计算器

反常积分是满足以下任一情形的定积分：

1. 积分区间无穷：例如 $\int_1^\infty f(x)\,dx$ 或 $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx$
2. 被积函数有竖直渐近线，位于区间内部或端点处：例如 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$

这两种情形下，标准黎曼积分都没有定义，但有时可以用极限赋予它一个有限值。

如果极限存在且有限，则反常积分收敛。如果极限为无穷或不存在，则积分发散。

反常积分在概率论（归一化常数）、拉普拉斯与傅里叶变换以及级数收敛判别法中处于核心地位。

类型 1：无穷区间

用极限代替无穷：

$\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)\,dx$

$\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx$

当两端都为无穷时，在任意方便的点 $c$ 处拆分：

$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^c f(x)\,dx + \int_c^\infty f(x)\,dx$

两部分必须各自独立收敛——否则整个积分发散。

类型 2：被积函数无界

如果 $f$ 在 $[a, b]$ 内部的 $x = c$ 处无界，则拆分并取极限：

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-}\int_a^t f(x)\,dx + \lim_{s \to c^+}\int_s^b f(x)\,dx$

如果奇点在 $x = a$ 处：

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)\,dx$

$p$ 判别法

$\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{converges if } p > 1, \text{ diverges if } p \leq 1$

$\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{converges if } p < 1, \text{ diverges if } p \geq 1$

临界指数是 $p = 1$。注意两种情形的收敛规则相反。

比较判别法

如果在区间上 $0 \leq f(x) \leq g(x)$：

• $\int g$ 收敛 $\Rightarrow \int f$ 收敛
• $\int f$ 发散 $\Rightarrow \int g$ 发散

当积分本身难算但上界容易时很有用。

• 把 $\infty$ 当作一个数：不能「代入」$\infty$，必须使用极限。
• 遗漏内部奇点：$\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx$ 在区间内部 $0$ 处有奇点。直接计算得到 $0$（错误）——该积分实际上发散。
• 把分段反常积分相加使其「相消」：$\int_{-\infty}^\infty x\,dx$——两半都发散，所以积分发散。「主值」是另一种（更弱的）概念。
• $p$ 判别法方向用反：在 $\infty$ 处，$1/x^p$ 当 $p > 1$ 时收敛。在 $0$ 处，当 $p < 1$ 时收敛。两者相反——两个都要记住。
• 积分前忘记验证收敛性：发散的反常积分没有值。始终先检查收敛性。