二重积分计算器

二重积分计算函数 $f(x, y)$ 在二维区域 $D$ 上的累积：

$\iint_D f(x,y)\,dA$

其中 $dA$ 是无穷小面积元。在笛卡尔坐标中 $dA = dx\,dy$；在极坐标中 $dA = r\,dr\,d\theta$。

常见物理意义：

• $f(x,y) = 1$ 给出 $D$ 的面积。
• $f(x,y) = h(x,y)$（高度函数）给出 $D$ 之上曲面 $z = h(x,y)$ 下方的体积。
• $f = \rho(x,y)$（面密度）给出薄板的质量。

关键技能是：选择坐标系、设定积分限，并用富比尼定理化为累次单重积分来计算。

富比尼定理

对于矩形 $D = [a, b] \times [c, d]$ 上连续的 $f$：

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy$

两种顺序都可以，所以选更容易积分的那种。

I 型与 II 型区域

I 型（$y$ 由 $x$ 的曲线界定）：

$D = \{(x,y) : a \leq x \leq b,\ g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx$

II 型（$x$ 由 $y$ 的曲线界定）：

$D = \{(x,y) : c \leq y \leq d,\ h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy$

极坐标

对于具有圆对称性的区域，用 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dA = r\,dr\,d\theta$：

$\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$

来自雅可比行列式的因子 $r$ 必不可少——漏掉它是最常见的错误。

何时交换积分次序

如果内层积分变得难以处理（例如 $\int e^{x^2}\,dx$ 没有初等原函数），交换积分次序往往能让问题可解。先画出区域草图，找到另一种次序下的等价积分限。

• 积分限次序错误：内层限可以依赖外层变量，但外层限必须是常数。颠倒 = 错误答案。
• 忘记极坐标雅可比：$dA = r\,dr\,d\theta$，而不是 $dr\,d\theta$。
• 不画区域草图：对于非矩形 $D$，草图能让 I 型还是 II 型一目了然。
• 试图对不可积的内层函数积分：如果遇到 $\int e^{x^2}\,dx$ 或类似的非初等被积函数，在放弃前先交换次序。
• 被积函数为负时的符号错误：如果 $f$ 在 $D$ 上变号，二重积分可能为零——这是正确的，不是需要「修正」的错误。