飞机 Q 以 450 km/h 沿与水平方向成 45° 角的路径爬升。0.7 分钟后，它比处于 5 km 高度的飞机 P 更高还是更低？

Step-by-step solution

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   先把速度分解成水平和竖直两个分量。 $450$ km/h 这个速度是沿着飞行路径量出来的，并不是垂直向上的速度。在由路径、地面和高度围成的直角三角形里，高度是爬升角的对边，所以

   $v_y=450\sin 45^{\circ}.$

   直接拿这个速度当爬升率，正是这道题最经典的错误。

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   算出竖直方向的速度。 由 $\sin 45^{\circ}=\tfrac{\sqrt2}{2}$ 得

   $v_y=450\cdot \tfrac{\sqrt2}{2}=318.1981\ \text{km/h}.$

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   把时间换算成小时。 速度以小时为单位，而时间给的是分钟，所以

   $t=\frac{0.7}{60}=0.0116667\ \text{h}.$

   在这一步把单位混着用，是第二个经典错误。

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   算出爬升的高度。

   $h_{Q}=v_y\,t=318.198\times 0.0116667=3.71231\ \text{km}.$

   换个算法也一样：沿路径共飞了 $5.25$ km，再取它的 $\sin 45^{\circ}$ 倍。这里 $\sin 45^{\circ}=\tfrac{\sqrt2}{2}$ 是无理数，所以精确高度为 $5.25\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}=\tfrac{21\sqrt2}{8}$ km，数值上是 $3.712311$ km。

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   与飞机 $P$ 作比较。 因为 $3.7123 < 5$，所以飞机 $Q$ 比飞机 $P$ 低。若想追上 $P$，在同样的速度和爬升角下需要 $t>0.9428$ 分钟。