一个三角形的三边为 65、65 和 10.75，没有任何已知角，求它的三个内角。

Step-by-step solution

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   先想清楚 SSS 该用什么工具。 三边已知、一个角都没有时，正弦定理是用不了的——它永远需要一组已经配好的边与对角。余弦定理才是唯一的入口：

   $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\;\Longrightarrow\;\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

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   利用等腰的对称性省一半功夫。 有两条边相等（$65=65$），所以它们所对的两个角也相等。这样一来，只要用余弦定理算一次——算出与众不同的那条边 $10.75$ 所对的角 $C$——整个三角形就定下来了。

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   代入数值。

   $\cos C=\frac{65^2+65^2-10.75^2}{2(65)(65)}=\frac{4225+4225-115.5625}{8450}=\frac{8334.4375}{8450}=0.98632396$

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   取反余弦。

   $C=\cos^{-1}(0.98632396)=9.4867^{\circ}$

   余弦值这么接近 $1$，正是一个又细又扁的三角形在数值上的特征，而 $65,65,10.75$ 这组边描述的恰恰就是这样一根「细长条」。

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   用内角和补出两个底角。

   $A=B=\frac{180^{\circ}-9.4867^{\circ}}{2}=85.2567^{\circ}$

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   换一条路用面积独立验算。 取 $s=70.375$ 代入海伦公式得面积 $=348.178$。另一边 $\tfrac12 ab\sin C=\tfrac12(65)(65)\sin(9.4867^{\circ})=348.178$ ✓，两者吻合；而且 $9.4867+85.2567+85.2567=180.0001^{\circ}$，多出来的那点只是四舍五入。